গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $V=\sin A-\cos A$। $A=60^{\circ}$ হলে $V=\sin60^{\circ}-\cos60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\mathbf{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$।

2. খ)

   $U=\sqrt{2}$ হলে $\sin A+\cos A=\sqrt{2}$।
   বর্গ করে পাই, $\sin^2A+\cos^2A+2\sin A\cos A=2$, বা $1+2\sin A\cos A=2$। $\therefore\ 2\sin A\cos A=1$।

   এখন $(\sin A-\cos A)^2=1-2\sin A\cos A=1-1=0$। $\therefore\ \sin A=\cos A$, বা $\tan A=1=\tan45^{\circ}$।

   $\therefore\ A=\mathbf{45^{\circ}}$ (সূক্ষ্মকোণ)।

3. গ)

   দেওয়া আছে, $\frac{U}{V}=\frac{\sin A+\cos A}{\sin A-\cos A}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$।

   লব ও হরকে $\cos A$ দ্বারা ভাগ করে পাই, $\frac{\tan A+1}{\tan A-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$।

   যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{(\tan A+1)+(\tan A-1)}{(\tan A+1)-(\tan A-1)}=\frac{(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)}$
   বা, $\frac{2\tan A}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}$, বা $\tan A=\sqrt{3}=\tan60^{\circ}$।

   $\therefore\ A=\mathbf{60^{\circ}}$।