উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $y = \tan^{-1}(\sin e^x)$

   $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\tan^{-1}(\sin e^x)]$
   $= \frac{1}{1 + (\sin e^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin e^x)$
   $= \frac{1}{1 + \sin^2(e^x)} \cdot \cos(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x)$
   $= \frac{e^x \cos(e^x)}{1 + \sin^2(e^x)}$

   অতএব, নির্ণেয় অন্তরজ হলো $\frac{e^x \cos(e^x)}{1 + \sin^2(e^x)}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $u = \frac{1}{x}$ এবং $v = \frac{1 - \cos 7x}{3x}$

   তাহলে, $uv = \frac{1}{x} \cdot \frac{1 - \cos 7x}{3x} = \frac{1 - \cos 7x}{3x^2}$

   এখন,
   $\lim_{x \to 0} (uv) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 7x}{3x^2}$
   $= \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2\left(\frac{7x}{2}\right)}{3x^2}$
   $= \frac{2}{3} \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin\left(\frac{7x}{2}\right)}{\frac{7x}{2}} \right)^2 \times \left(\frac{7}{2}\right)^2$
   $= \frac{2}{3} \times (1)^2 \times \frac{49}{4}$
   $= \frac{2}{3} \times \frac{49}{4} = \frac{49}{6}$

   অতএব, $\lim_{x \to 0} (uv) = \frac{49}{6}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = e^{mx}$

   অন্তরজের সংজ্ঞানুযায়ী,
   $\frac{d}{dx} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

   এখানে, $f(x+h) = e^{m(x+h)} = e^{mx+mh}$

   $\therefore \frac{d}{dx} (e^{mx}) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{mx+mh} - e^{mx}}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{e^{mx}(e^{mh} - 1)}{h}$
   $= e^{mx} \lim_{h \to 0} \frac{e^{mh} - 1}{h}$

   আমরা জানি, $e^{mh} = 1 + \frac{mh}{1!} + \frac{(mh)^2}{2!} + \frac{(mh)^3}{3!} + \dots$

   $\therefore \frac{d}{dx} (e^{mx}) = e^{mx} \lim_{h \to 0} \frac{\left(1 + mh + \frac{m^2h^2}{2!} + \dots\right) - 1}{h}$
   $= e^{mx} \lim_{h \to 0} \frac{h \left(m + \frac{m^2h}{2!} + \dots\right)}{h}$
   $= e^{mx} \lim_{h \to 0} \left(m + \frac{m^2h}{2!} + \dots\right)$
   $= e^{mx} (m + 0 + 0 + \dots)$
   $= m e^{mx}$

   অতএব, মূল নিয়মে $f(x)$ এর অন্তরজ $m e^{mx}$।