গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ বৃত্তের কেন্দ্র, $AB$ ব্যাস এবং $D$ অর্ধবৃত্তের ওপর যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $\angle ADB = 90°$।

   অঙ্কন: $O, D$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $OA = OD = OB$ (ব্যাসার্ধ)। তাই $\angle OAD = \angle ODA$ এবং $\angle OBD = \angle ODB$।

   $\triangle ABD$ এ, $\angle DAB + \angle ABD + \angle ADB = 180°$

   বা, $\angle ODA + \angle ODB + \angle ADB = 180°$

   বা, $2\angle ADB = 180°$ ($\angle ODA + \angle ODB = \angle ADB$)

   বা, $\angle ADB = 90°$ (প্রমাণিত)।

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $C$ বৃত্তের কেন্দ্র, $PQ$ ও $MN$ দুটি জ্যা, $CA \perp PQ$, $CB \perp MN$ এবং $PQ = MN$। প্রমাণ করতে হবে $AC = BC$।

   অঙ্কন: $C, Q$ এবং $C, N$ যোগ করি।

   প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই $AQ = \dfrac{1}{2}PQ$ এবং $BN = \dfrac{1}{2}MN$। যেহেতু $PQ = MN$, তাই $AQ = BN$।

   $\triangle ACQ$ ও $\triangle BCN$ সমকোণী ত্রিভুজে,

   অতিভুজ $CQ =$ অতিভুজ $CN$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

   $AQ = BN$

   সুতরাং $\triangle ACQ \cong \triangle BCN$ (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)

   অতএব, $AC = BC$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $C$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $E$ থেকে $PE$ ও $ME$ দুটি স্পর্শক, যা বৃত্তকে যথাক্রমে $P$ ও $M$ বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। প্রমাণ করতে হবে $PE = ME$।

   অঙ্কন: $C, P$; $C, M$ এবং $C, E$ যোগ করি।

   প্রমাণ: স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের ওপর লম্ব, তাই $\angle CPE = \angle CME = 90°$।

   $\triangle CPE$ ও $\triangle CME$ সমকোণী ত্রিভুজে,

   $CP = CM$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

   অতিভুজ $CE$ সাধারণ।

   সুতরাং $\triangle CPE \cong \triangle CME$ (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)

   অতএব, $PE = ME$ (প্রমাণিত)।