গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\tan 7x=\cot 8x=\tan(90^\circ-8x)$ হওয়ায় $7x=90^\circ-8x$, বা $15x=90^\circ$; সুতরাং $x=\mathbf{6^\circ}$।

2. খ)

   দেওয়া আছে, $M=\sec\theta$ এবং $N=\tan\theta$ এবং $MN=2\sqrt{3}$।

   তাহলে $\sec\theta\tan\theta=2\sqrt{3}$ বা $\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=2\sqrt{3}$।

   এখানে $\sin\theta=2\sqrt{3}(1-\sin^2\theta)$ বা $2\sqrt{3}\sin^2\theta+\sin\theta-2\sqrt{3}=0$।

   দ্বিঘাত সূত্র প্রয়োগ করে $\sin\theta=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+48}}{4\sqrt{3}}=\dfrac{-1\pm 7}{4\sqrt{3}}$। সূক্ষ্মকোণের জন্য $\sin\theta=\dfrac{6}{4\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$।

   সুতরাং $\theta=\mathbf{60^\circ}$।

   (যাচাই: $\sec60^\circ\cdot\tan60^\circ=2\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}$)

3. গ)

   ধরি, খুঁটির অবশিষ্ট খাড়া অংশ $AB=h$ মিটার এবং ভাঙা অংশ $AC=l$ মিটার, যেখানে $B$ খুঁটির গোড়া ও $C$ ভূমিতে স্পর্শ বিন্দু। $BC=18$ মিটার এবং $\angle BAC=30^\circ$ (খাড়া অংশের সাথে ভাঙা অংশের কোণ)।

   সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$-এ $\angle ABC=90^\circ$।

   ১. $\tan30^\circ=\dfrac{BC}{AB}$ বা $\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{18}{h}$; সুতরাং $h=18\sqrt{3}$ মিটার।

   ২. $\sin30^\circ=\dfrac{BC}{AC}$ বা $\dfrac{1}{2}=\dfrac{18}{l}$; সুতরাং $l=36$ মিটার।

   সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য $=h+l=18\sqrt{3}+36=18(\sqrt{3}+2)\approx 67.18$ মিটার।

   অতএব, সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য $\mathbf{18(\sqrt{3}+2)}$ মিটার (প্রায় ৬৭.১৮ মিটার)।