গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$
$\therefore \alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ এবং $\alpha\beta = \frac{c}{a}$

এবং $bx^2 + cx + a = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\gamma, \delta$
$\therefore \gamma + \delta = -\frac{c}{b}$ এবং $\gamma\delta = \frac{a}{b}$

শর্তানুসারে, $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}$
যোজন-বিয়োজন করে পাই,
$\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta} = \frac{\gamma + \delta}{\gamma - \delta}$
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$\frac{(\alpha + \beta)^2}{(\alpha - \beta)^2} = \frac{(\gamma + \delta)^2}{(\gamma - \delta)^2}$
$\implies \frac{(\alpha + \beta)^2}{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \frac{(\gamma + \delta)^2}{(\gamma + \delta)^2 - 4\gamma\delta}$

মান বসিয়ে পাই,
$\frac{\left(-\frac{b}{a}\right)^2}{\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\left(\frac{c}{a}\right)} = \frac{\left(-\frac{c}{b}\right)^2}{\left(-\frac{c}{b}\right)^2 - 4\left(\frac{a}{b}\right)}$
$\implies \frac{\frac{b^2}{a^2}}{\frac{b^2 - 4ac}{a^2}} = \frac{\frac{c^2}{b^2}}{\frac{c^2 - 4ab}{b^2}}$
$\implies \frac{b^2}{b^2 - 4ac} = \frac{c^2}{c^2 - 4ab}$

বিপরীতকরণ করে পাই,
$\frac{b^2 - 4ac}{b^2} = \frac{c^2 - 4ab}{c^2}$
$\implies 1 - \frac{4ac}{b^2} = 1 - \frac{4ab}{c^2}$
$\implies \frac{ac}{b^2} = \frac{ab}{c^2}$

উভয়পক্ষকে $a$ দ্বারা ভাগ করে ($a \neq 0$):
$\frac{c}{b^2} = \frac{b}{c^2}$
$\implies b^3 = c^3$ অথবা $b = c$

বিকল্পভাবে,
শর্তটি হলো: $b^3 = c^3$ বা $b = c$ (বা $b^3 - c^3 = 0$)।