উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রধান মান $\theta=\tan^{-1}x$ নিলে $-\pi/2<\theta<\pi/2$। তাই $0<\pi/2-\theta<\pi$ এবং
   $\cot(\pi/2-\theta)=\tan\theta=x$।
   $\cot^{-1}x$-এর প্রধান মান $(0,\pi)$-তে নেওয়ায় $\cot^{-1}x=\pi/2-\theta$। অতএব
   $\boxed{\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\pi/2}$, সব $x\in\mathbb R$-এর জন্য।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোণের পরিসর সম্পর্কে স্পষ্টতা: প্রশ্নে $\alpha$-এর পরিসর নেই। চাওয়া দুটি মান সমাধান, তবে সব বাস্তব কোণের পূর্ণ সমাধানে আরও শাখা ও $2\pi$-পর্যাবৃত্তি আছে।

   $\sin(\pi/2-\alpha)=\cos\alpha$ ও $\cos(\pi/2-\alpha)=\sin\alpha$ বসালে
   $f(\alpha)=0\Rightarrow\sin(\pi\cos\alpha)=\cos(\pi\sin\alpha) =\sin(\pi/2-\pi\sin\alpha)$।
   $\sin A=\sin B$-এর দুই শাখা থেকে
   $\cos\alpha+\sin\alpha=\tfrac12+2n$ অথবা $\cos\alpha-\sin\alpha=\tfrac12+2n$।
   বামপক্ষের মান $[-\sqrt2,\sqrt2]$-তে হওয়ায় উভয় ক্ষেত্রেই $n=0$।

   অতএব $\sqrt2\cos(\alpha-\pi/4)=1/2$ অথবা $\sqrt2\cos(\alpha+\pi/4)=1/2$।
   $\beta=\sin^{-1}(\sqrt{14}/4)$ নিলে $\cos\beta=\sqrt2/4$। তাই পূর্ণ সমাধান
   $\boxed{\alpha=\pm\pi/4\pm\beta+2k\pi,\ k\in\mathbb Z}$,
   যেখানে দুটি $\pm$ স্বাধীন।

   এর মধ্যে $\boxed{\alpha=\pm\pi/4+\sin^{-1}(\sqrt{14}/4)}$ প্রশ্নে চাওয়া দুটি মান। অতিরিক্ত শর্ত $0\le\alpha\le\pi$ থাকলে এই দুটিই ওই পরিসরের সম্পূর্ণ সমাধান।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $g(x)=\cos x$ হওয়ায় $g(\pi/2-2x)=\sin2x$। সুতরাং
   $\sin^22x-3\cos^2x=0 \Rightarrow4\sin^2x\cos^2x-3\cos^2x=0 \Rightarrow\cos^2x(4\sin^2x-3)=0$।

   ১. $\cos x=0$ হলে $-\pi\le x\le\pi$-তে $x=\pm\pi/2$।

   ২. $\sin^2x=3/4$ হলে $\sin x=\pm\sqrt3/2$; ওই পরিসরে $x=\pm\pi/3,\ \pm2\pi/3$।

   অতএব
   $\boxed{x\in\{-2\pi/3,-\pi/2,-\pi/3,\pi/3,\pi/2,2\pi/3\}}$।
   $\cos^2x$ দিয়ে ভাগ না করায় $\pm\pi/2$ সমাধান হারায়নি।