গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ:
$\cos^3 x - \frac{1}{2}\sin 2x = 1 + \sin^3 x$
$\implies \cos^3 x - \sin^3 x - \sin x \cos x - 1 = 0$
$\implies (\cos x - \sin x)(\cos^2 x + \cos x \sin x + \sin^2 x) - (1 + \sin x \cos x) = 0$
$\implies (\cos x - \sin x)(1 + \sin x \cos x) - (1 + \sin x \cos x) = 0$
$\implies (1 + \sin x \cos x)(\cos x - \sin x - 1) = 0$

এখানে দুটি ক্ষেত্র তৈরি হয়:

ক্ষেত্র-১:
$1 + \sin x \cos x = 0$
$\implies 2 + 2\sin x \cos x = 0$
$\implies \sin 2x = -2$
কিন্তু বাস্তব মানের জন্য $-1 \le \sin 2x \le 1$, সুতরাং এটি গ্রহণযোগ্য নয়।

ক্ষেত্র-২:
$\cos x - \sin x - 1 = 0$
$\implies \cos x - \sin x = 1$
উভয়পক্ষকে $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\implies \cos x \cos\frac{\pi}{4} - \sin x \sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4}$
$\implies \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4}$
$\implies x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} \quad (n \in \mathbb{Z})$

ধনার্থক ($+$) চিহ্ন নিয়ে:
$x = 2n\pi + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 2n\pi$

ঋণাত্মক ($-$) চিহ্ন নিয়ে:
$x = 2n\pi - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$

অতএব, নির্ণেয় সমাধান: $x = 2n\pi$ অথবা $x = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$।