উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \sin x$
   $\therefore f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

   প্রদত্ত রাশি,
   $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - f(x)}{f'(x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin x}{\cos x}$
   L'Hôpital-এর নিয়ম প্রয়োগ করে,
   $= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-\cos x}{-\sin x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cot x = \cot\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$

   উত্তর: $0$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \sin x$
   $\therefore \frac{1}{f(3x)} = \frac{1}{\sin 3x} = \csc 3x$

   ধরি, $g(x) = \csc 3x$
   $\therefore g(x + h) = \csc 3(x + h) = \csc(3x + 3h)$

   অন্তরজের মূল নিয়মানুযায়ী,
   $\frac{d}{dx}[g(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\csc(3x+3h) - \csc 3x}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{1}{\sin(3x+3h)} - \frac{1}{\sin 3x} \right]$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin 3x - \sin(3x+3h)}{h \sin(3x+3h) \sin 3x}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos\left(\frac{3x + 3x + 3h}{2}\right) \sin\left(\frac{3x - 3x - 3h}{2}\right)}{h \sin(3x+3h) \sin 3x}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{-2 \cos\left(3x + \frac{3h}{2}\right) \sin\left(\frac{3h}{2}\right)}{h \sin(3x+3h) \sin 3x}$
   $= - \lim_{h \to 0} \frac{\cos\left(3x + \frac{3h}{2}\right)}{\sin(3x+3h) \sin 3x} \times \lim_{h \to 0} \frac{\sin\left(\frac{3h}{2}\right)}{\frac{3h}{2}} \times 3$
   $= - \frac{\cos 3x}{\sin 3x \cdot \sin 3x} \times 1 \times 3$
   $= -3 \csc 3x \cot 3x$

   উত্তর: $-3 \csc 3x \cot 3x$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \sin x$
   $\therefore y = f(a \sin^{-1} x) = \sin(a \sin^{-1} x)$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{dy}{dx} = \cos(a \sin^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(a \sin^{-1} x)$
   $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \cos(a \sin^{-1} x) \cdot \frac{a}{\sqrt{1-x^2}}$
   $\Rightarrow \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} = a \cos(a \sin^{-1} x)$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $(1-x^2) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = a^2 \cos^2(a \sin^{-1} x)$
   $\Rightarrow (1-x^2) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = a^2 [1 - \sin^2(a \sin^{-1} x)]$
   $\Rightarrow (1-x^2) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = a^2 (1 - y^2)$

   পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $(1-x^2) \cdot 2\frac{dy}{dx} \frac{d^2y}{dx^2} + (-2x) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = a^2 \left(-2y \frac{dy}{dx}\right)$

   উভয়পক্ষকে $2\frac{dy}{dx}$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $(1-x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = -a^2 y$
   $\Rightarrow (1-x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} + a^2 y = 0$ (দেখানো হলো)