উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, বেগ তিনটি P = 3 সেমি/সে, Q = 5 সেমি/সে এবং R = 7 সেমি/সে।
   যেহেতু বেগ তিনটি কণাটিকে স্থিতিশীল রাখে, তাই এরা সাম্যাবস্থায় রয়েছে।
   অতএব, P ও Q এর লব্ধির মান R এর মানের সমান ও বিপরীতমুখী হবে।
   P ও Q এর মধ্যবর্তী কোণ α হলে,
   R² = P² + Q² + 2PQ cos α
   ⇒ 7² = 3² + 5² + 2 × 3 × 5 × cos α
   ⇒ 49 = 9 + 25 + 30 cos α
   ⇒ 49 = 34 + 30 cos α
   ⇒ 30 cos α = 15
   ⇒ cos α = 15 / 30 = 1/2
   ⇒ α = 60°

   সুতরাং, প্রথম দুইটি বেগের মধ্যবর্তী কোণ 60°।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, নিক্ষেপ বেগ u = 320 ফুট/সে। এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ g = 32 ফুট/সে²।
   মনে করি, ১ম বলটি নিক্ষেপের t সেকেন্ড পর বলদ্বয় মিলিত হয়।
   যেহেতু ২য় বলটি ১ম বল নিক্ষেপের 5 সেকেন্ড পর ছোড়া হয়েছে, তাই ২য় বলটির চলনকাল (t - 5) সেকেন্ড।

   t সেকেন্ডে ১ম বলের অতিক্রান্ত উচ্চতা,
   h₁ = ut - (1/2)gt²
   (t - 5) সেকেন্ডে ২য় বলের অতিক্রান্ত উচ্চতা,
   h₂ = u(t - 5) - (1/2)g(t - 5)²

   বল দুইটি মিলিত হলে h₁ = h₂ হবে:
   ut - (1/2)gt² = u(t - 5) - (1/2)g(t² - 10t + 25)
   ⇒ ut - (1/2)gt² = ut - 5u - (1/2)gt² + 5gt - (25/2)g
   ⇒ 0 = -5u + 5gt - (25/2)g
   ⇒ 5gt = 5u + (25/2)g
   ⇒ gt = u + (5/2)g
   ⇒ t = u/g + 2.5

   মান বসিয়ে পাই:
   t = 320/32 + 2.5 = 10 + 2.5 = 12.5 সেকেন্ড।

   মিলিত হওয়ার স্থান (উচ্চতা):
   h = ut - (1/2)gt²
   = 320 × 12.5 - 0.5 × 32 × (12.5)²
   = 4000 - 16 × 156.25
   = 4000 - 2500 = 1500 ফুট।

   অতএব, ১ম বল নিক্ষেপের 12.5 সে. পর (বা ২য় বল নিক্ষেপের 7.5 সে. পর) ভূপৃষ্ঠ হতে 1500 ফুট উচ্চতায় বল দুইটি মিলিত হবে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রক্ষিপ্ত কণার ক্ষেত্রে:
   বৃহত্তম উচ্চতা, x = (u² sin² α) / (2g)
   ⇒ sin² α = (2gx) / u² ... (i)

   আনুভূমিক পাল্লা, y = (u² sin 2α) / g = (2u² sin α cos α) / g
   ⇒ y² = (4u⁴ sin² α cos² α) / g²
   ⇒ y² / 16 = (u⁴ sin² α cos² α) / (4g²)

   বামপক্ষ = y²/16 + x²
   = (u⁴ sin² α cos² α) / (4g²) + (u⁴ sin⁴ α) / (4g²)
   = [u⁴ sin² α / (4g²)] (cos² α + sin² α)
   = [u⁴ sin² α / (4g²)] × 1
   = [u² / (2g)] × [(u² sin² α) / (2g)]
   যেহেতু x = (u² sin² α) / (2g),
   = [u² / (2g)] × x
   = (u² x) / (2g) = ডানপক্ষ।

   অতএব, y²/16 + x² = (u² x) / (2g)। (দেখানো হলো)