উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প-১: 8x3−52x2+78x−27=0 8 \mathrm{x}^{3}-52 \mathrm{x}^{2}+78 \mathrm{x}-27=0 একটি ত্রিঘাত সমীকরণ। দৃশ্যকল্প-২: x3−9x2+14x+24=0 x^{3}-9 x^{2}+14 x+24=0 একটি ত্রিঘাত সমীকরণ।
- ক)(1)
x3−ax2+bx−c=0 x^{3}-a x^{2}+b x-c=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β \alpha, \beta ও γ \gamma হলে ∑1α2 \sum \frac{1}{\alpha^{2}} নির্ণয় কর।
- খ)(2)
দৃশ্যকল্প-১ এর ত্রিঘাত সমীকরণটির মূলত্রয় গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত হলে সমীকরণটি সমাধান কর।
- গ)(3)
দৃশ্যকল্প-২ এর দুইটি মূলের অনুপাত 3:2 হলে সমীকরণটি সমাধান কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
প্রদত্ত সমীকরণ: x³ - ax² + bx - c = 0
মূলত্রয় α, β, γ হলে,
α + β + γ = a
αβ + βγ + γα = b
αβγ = cএখন,
∑(1/α²) = 1/α² + 1/β² + 1/γ²
= (β²γ² + γ²α² + α²β²) / (α²β²γ²)
= [(αβ + βγ + γα)² - 2αβγ(α + β + γ)] / (αβγ)²
= [b² - 2c(a)] / c²
= (b² - 2ac) / c²নির্ণেয় মান: (b² - 2ac) / c²।
- খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ: 8x³ - 52x² + 78x - 27 = 0
যেহেতু মূলত্রয় গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত, ধরি মূল তিনটি a/r, a, ar।মূলত্রয়ের গুণফল:
(a/r) × a × (ar) = -(-27)/8
=> a³ = 27/8
=> a = 3/2মূলত্রয়ের যোগফল:
a/r + a + ar = -(-52)/8 = 13/2
=> a(1/r + 1 + r) = 13/2
=> (3/2)(1/r + 1 + r) = 13/2
=> 1/r + 1 + r = 13/3
=> 1/r + r = 13/3 - 1 = 10/3
=> (r² + 1)/r = 10/3
=> 3r² - 10r + 3 = 0
=> 3r² - 9r - r + 3 = 0
=> (3r - 1)(r - 3) = 0
=> r = 3 অথবা r = 1/3r = 3 হলে মূলগুলো:
a/r = (3/2)/3 = 1/2
a = 3/2
ar = (3/2) × 3 = 9/2r = 1/3 হলেও একই মূলগুলো (9/2, 3/2, 1/2) পাওয়া যায়।
অতএব, সমীকরণটির সমাধান: x = 1/2, 3/2, 9/2।
- গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণ: x³ - 9x² + 14x + 24 = 0
ধরি, সমীকরণটির দুইটি মূলের অনুপাত 3:2, সুতরাং মূল দুটি 3m এবং 2m। ধরি, তৃতীয় মূলটি n।মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে:
-
মূলত্রয়ের যোগফল:
3m + 2m + n = 9
=> 5m + n = 9 => n = 9 - 5m -
দুইটি করে মূলের গুণফলের সমষ্টি:
(3m)(2m) + (2m)n + (3m)n = 14
=> 6m² + 5mn = 14
n = 9 - 5m বসিয়ে পাই,
6m² + 5m(9 - 5m) = 14
=> 6m² + 45m - 25m² = 14
=> -19m² + 45m - 14 = 0
=> 19m² - 45m + 14 = 0
=> 19m² - 38m - 7m + 14 = 0
=> 19m(m - 2) - 7(m - 2) = 0
=> (m - 2)(19m - 7) = 0সুতরাং, m = 2 অথবা m = 7/19
যদি m = 2 হয়:
প্রথম দুটি মূল: 3(2) = 6 এবং 2(2) = 4
তৃতীয় মূল: n = 9 - 5(2) = -1মূলত্রয়ের গুণফল পরীক্ষা করি:
6 × 4 × (-1) = -24
সমীকরণ হতে মূলত্রয়ের গুণফল = -24/1 = -24, যা সত্য।যদি m = 7/19 হয়, তবে n = 9 - 35/19 = 136/19, এদের গুণফল -24 হয় না।
অতএব, মূলত্রয় হলো 6, 4, -1।
নির্ণেয় সমাধান: x = -1, 4, 6।
-
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও