উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ∫ ln x dx
   ইউ-ভি (integration by parts) পদ্ধতি প্রয়োগ করে:
   = ln x ∫ 1 dx - ∫ [(d/dx ln x) * (∫ 1 dx)] dx
   = x ln x - ∫ [(1/x) * x] dx
   = x ln x - ∫ 1 dx
   = x ln x - x + c
   = x(ln x - 1) + c, যেখানে c একটি সমাকলন ধ্রুবক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, f(x) = x²
   সুতরাং, √f(x) = √(x²) = x (যেহেতু x > 0)

   প্রদত্ত যোগজ, I = ∫ dx / [f(x) (√f(x) + 1)] = ∫ dx / [x² (x + 1)]

   আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করি:
   1 / [x²(x + 1)] = A/x + B/x² + C/(x + 1)
   বা, 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx²

   x = 0 বসিয়ে: B(1) = 1 ⇒ B = 1
   x = -1 বসিয়ে: C(-1)² = 1 ⇒ C = 1
   x² এর সহগ সমীকৃত করে: A + C = 0 ⇒ A = -C = -1

   অতএব, 1 / [x²(x + 1)] = -1/x + 1/x² + 1/(x + 1)

   সুতরাং,
   I = ∫ (-1/x + 1/x² + 1/(x + 1)) dx
   = -ln|x| - 1/x + ln|x + 1| + c
   = ln|(x + 1)/x| - 1/x + c, যেখানে c একটি সমাকলন ধ্রুবক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, বক্ররেখার সমীকরণ y = f(x) = x² ... (1)
   এবং সরলরেখার সমীকরণ x - y = 0 ⇒ y = x ... (2)

   (1) ও (2) সমাধান করে পাই,
   x² = x
   বা, x² - x = 0
   বা, x(x - 1) = 0
   অতএব, x = 0, 1।

   x = 0 হলে y = 0 এবং x = 1 হলে y = 1।
   সুতরাং ছেদবিন্দুসমূহ (0, 0) এবং (1, 1)।

   আবদ্ব অঞ্চলের সীমার মধ্যে (0 ≤ x ≤ 1), রেখা y = x টি পরাবৃত্ত y = x² এর উপরে অবস্থান করে।

   অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = ∫₀¹ (y_line - y_curve) dx
   = ∫₀¹ (x - x²) dx
   = [x²/2 - x³/3]₀¹
   = (1/2 - 1/3) - 0
   = 1/6 বর্গ একক। (দেখানো হলো)