গণিত • CUET • চট্টগ্রাম প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০০৯-২০১০

গণিত প্রশ্ন

2.

A=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]andA2=12[1−331],θ=? A = \left [ \begin{matrix} \cos{\theta} & - \sin{\theta} \ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{matrix} \right ] \quad\text{and}\quad A^{2} = \frac{1}{2} \left [ \begin{matrix} 1 & - \sqrt{3} \ \sqrt{3} & 1 \end{matrix} \right ] , \theta = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
A=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]A = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

তাহলে,
A2=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ][cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]A^2 = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}
=[cos⁡2θ−sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ2sin⁡θcos⁡θcos⁡2θ−sin⁡2θ]=[cos⁡2θ−sin⁡2θsin⁡2θcos⁡2θ]= \begin{bmatrix} \cos^2\theta - \sin^2\theta & -2\sin\theta\cos\theta \\ 2\sin\theta\cos\theta & \cos^2\theta - \sin^2\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix}

দেওয়া আছে,
A2=12[1−331]=[12−323212]A^2 = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}

ম্যাট্রিক্সদ্বয়ের সমতা হতে পাই,
cos⁡2θ=12এবংsin⁡2θ=32\cos 2\theta = \frac{1}{2} \quad \text{এবং} \quad \sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}

অতএব,
2θ=2nπ+π3  ⟹  θ=nπ+π6(n∈Z)2\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{3} \implies \theta = n\pi + \frac{\pi}{6} \quad (n \in \mathbb{Z})

প্রধান মান হিসেবে, θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} বা 30∘30^\circ।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন