4ex + 9e-x এর ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।

Question

Accepted Answer

ক. 12

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশিটি হলো $f(x) = 4e^x + 9e^{-x}$।
যেহেতু যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $x$-এর জন্য $e^x > 0$, তাই আমরা সমান্তর-গুণোত্তর গড় (AM-GM) অসমতা ব্যবহার করতে পারি:
$$\frac{4e^x + 9e^{-x}}{2} \ge \sqrt{4e^x \cdot 9e^{-x}}$$
$$\implies \frac{4e^x + 9e^{-x}}{2} \ge \sqrt{36} = 6$$
$$\implies 4e^x + 9e^{-x} \ge 12$$

বিকল্পভাবে, অন্তরীকরণের মাধ্যমে:
$f'(x) = 4e^x - 9e^{-x} = 0$
$\implies 4e^{2x} = 9 \implies e^{2x} = \frac{9}{4} \implies e^x = \frac{3}{2}$

অতএব, ক্ষুদ্রতম মান $= 4\left(\frac{3}{2}\right) + 9\left(\frac{2}{3}\right) = 6 + 6 = 12$।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন