উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=(1401),B=(1m0n),C=(012120204) A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 4 \ 0 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} 1 & m \ 0 & n \end{array}\right), C = \left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 2 \ 1 & 2 & 0 \ 2 & 0 & 4 \end{array}\right)
এবং, f(x)=x2+5x+6I f(x)=x^2+5 x+6I

  1. ক)

    P=(123)P=\left(\begin{array}{l}1 \ 2 \ 3\end{array}\right) এবং Q=(456)Q=\left(\begin{array}{lll}4 & 5 & 6\end{array}\right) হলে (PQ)⊤(P Q)^{\top} নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    AB=I2A B=I_2 হলে mm ও n\mathrm{n} এর মান নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    f(c) নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    P=(123)P = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} এবং Q=(456)Q = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}

    PQ=(123)(456)=(1×41×51×62×42×52×63×43×53×6)=(45681012121518)PQ = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 4 & 1 \times 5 & 1 \times 6 \\ 2 \times 4 & 2 \times 5 & 2 \times 6 \\ 3 \times 4 & 3 \times 5 & 3 \times 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 12 & 15 & 18 \end{pmatrix}

    অতএব, (PQ)⊤=(48125101561218)(PQ)^\top = \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 5 & 10 & 15 \\ 6 & 12 & 18 \end{pmatrix}

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A=(1401)A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} এবং B=(1m0n)B = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & n \end{pmatrix}

    এখন,
    AB=(1401)(1m0n)=(1⋅1+4⋅01⋅m+4⋅n0⋅1+1⋅00⋅m+1⋅n)=(1m+4n0n)AB = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 4\cdot 0 & 1\cdot m + 4\cdot n \\ 0\cdot 1 + 1\cdot 0 & 0\cdot m + 1\cdot n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & m + 4n \\ 0 & n \end{pmatrix}

    প্রশ্নমতে, AB=I2AB = I_2
    বা, (1m+4n0n)=(1001)\begin{pmatrix} 1 & m + 4n \\ 0 & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

    অনুরূপ উপাদান সমীকৃত করে পাই,
    n=1n = 1
    এবং m+4n=0  ⟹  m+4(1)=0  ⟹  m=−4m + 4n = 0 \implies m + 4(1) = 0 \implies m = -4

    অতএব, m=−4m = -4 এবং n=1n = 1।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    C=(012120204)C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} এবং f(x)=x2+5x+6If(x) = x^2 + 5x + 6I

    অতএব, f(C)=C2+5C+6I3f(C) = C^2 + 5C + 6I_3

    এখানে,
    C2=C⋅C=(012120204)(012120204)=(5282528220)C^2 = C \cdot C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 8 \\ 2 & 5 & 2 \\ 8 & 2 & 20 \end{pmatrix}

    5C=5(012120204)=(0510510010020)5C = 5 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 10 \\ 5 & 10 & 0 \\ 10 & 0 & 20 \end{pmatrix}

    6I3=6(100010001)=(600060006)6I_3 = 6 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}

    সুতরাং,
    f(C)=C2+5C+6I3f(C) = C^2 + 5C + 6I_3
    =(5282528220)+(0510510010020)+(600060006)=(11718721218246)= \begin{pmatrix} 5 & 2 & 8 \\ 2 & 5 & 2 \\ 8 & 2 & 20 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 5 & 10 \\ 5 & 10 & 0 \\ 10 & 0 & 20 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 7 & 18 \\ 7 & 21 & 2 \\ 18 & 2 & 46 \end{pmatrix}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন