গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে, 7x² - 5x - 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β।
অতএব,
α + β = -(-5)/7 = 5/7
এবং αβ = -3/7

নতুন সমীকরণের মূলদ্বয় (1/α + 3/β) এবং (3/α + 1/β)।

মূলদ্বয়ের যোগফল:
S = (1/α + 3/β) + (3/α + 1/β)
= 4/α + 4/β
= 4(α + β) / (αβ)
= 4 × (5/7) / (-3/7)
= -20/3

মূলদ্বয়ের গুণফল:
P = (1/α + 3/β)(3/α + 1/β)
= 3/α² + 1/(αβ) + 9/(αβ) + 3/β²
= 3(1/α² + 1/β²) + 10/(αβ)
= 3(α² + β²)/(αβ)² + 10/(αβ)
= 3[(α + β)² - 2αβ]/(αβ)² + 10/(αβ)
= 3[(5/7)² - 2(-3/7)] / (-3/7)² + 10 / (-3/7)
= 3[25/49 + 6/7] / (9/49) - 70/3
= 3[(25 + 42)/49] / (9/49) - 70/3
= 3 × 67 / 9 - 70/3
= 67/3 - 70/3
= -3/3
= -1

সুতরাং, নির্ণেয় সমীকরণটি হলো:
x² - Sx + P = 0
⇒ x² - (-20/3)x + (-1) = 0
⇒ x² + (20/3)x - 1 = 0
⇒ 3x² + 20x - 3 = 0