গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$y = x + x^2 + x^3 + \dots \infty$

এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a = x$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = x$।
যখন $|x| < 1$, তখন অসীম ধারার সমষ্টি:
$y = \frac{x}{1 - x}$

বা, $y(1 - x) = x$
বা, $y - xy = x$
বা, $x + xy = y$
বা, $x(1 + y) = y$
বা, $x = \frac{y}{1 + y}$
বা, $x = y(1 + y)^{-1}$

এখন, $|y| < 1$ বিবেচনা করে দ্বিপদী বিস্তৃতির সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$(1 + y)^{-1} = 1 - y + y^2 - y^3 + y^4 - \dots \infty$

অতএব,
$x = y(1 - y + y^2 - y^3 + \dots)$
$x = y - y^2 + y^3 - y^4 + \dots \infty$

(দেখানো হলো)