উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ঘটনা A ও B স্বাধীন হওয়ার শর্ত হলো:
   P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

   দেওয়া আছে,
   P(A) = 0.6 এবং P(A ∩ B) = 0.48

   সুতরাং,
   0.48 = 0.6 · P(B)
   ⇒ P(B) = 0.48 / 0.6
   ⇒ P(B) = 0.8

   অতএব, P(B) = 0.8 এর জন্য ঘটনা A ও B স্বাধীন হবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, মোট পরীক্ষার্থীর সেট S, পরিসংখ্যানে ফেল করা পরীক্ষার্থীর সেট S₁ এবং গণিতে ফেল করা পরীক্ষার্থীর সেট M।
   দেওয়া আছে,
   মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা, n(S) = 250
   পরিসংখ্যানে ফেল করা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা, n(S₁) = 25
   গণিতে ফেল করা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা, n(M) = 45
   উভয় বিষয়ে ফেল করা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা, n(S₁ ∩ M) = 15

   পরিসংখ্যানে পাশ এবং গণিতে ফেল করার অর্থ হলো পরীক্ষার্থীটি কেবল গণিতে ফেল করেছে (পরিসংখ্যানে ফেল করেনি)।
   কেবল গণিতে ফেল করা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = n(M ∩ S₁ᶜ) = n(M) - n(S₁ ∩ M)
   = 45 - 15 = 30 জন।

   সুতরাং, দৈবভাবে নির্বাচিত একজন পরীক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে পাশ ও গণিতে ফেল হওয়ার সম্ভাবনা:
   P = 30 / 250 = 3 / 25 = 0.12।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সারণি তৈরি করি:

   প্রাপ্ত নম্বর (xᵢ)	ছাত্র সংখ্যা (fᵢ)	fᵢxᵢ	xᵢ²	fᵢxᵢ²
   40	4	160	1600	6400
   50	6	300	2500	15000
   60	11	660	3600	39600
   70	13	910	4900	63700
   80	12	960	6400	76800
   90	4	360	8100	32400
   মোট	N = ∑fᵢ = 50	∑fᵢxᵢ = 3350	-	∑fᵢxᵢ² = 233900

   ভেদাঙ্ক (σ²):
   σ² = (∑fᵢxᵢ² / N) - (∑fᵢxᵢ / N)²
   = (233900 / 50) - (3350 / 50)²
   = 4678 - (67)²
   = 4678 - 4489
   = 189

   পরিমিত ব্যবধান (σ):
   σ = √(189) ≈ 13.75

   ভেদাঙ্ক ও পরিমিত ব্যবধানের পার্থক্য:
   |σ² - σ| = 189 - 13.75 = 175.25।