উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

(৬) এখানে রাশিটি $(1+x)^{n}$, যেখানে $n=\frac{21}{2}$ এবং $x=\frac{2}{3}$।

ধরি $T_{r+1}$ ও $T_r$ যথাক্রমে $(r+1)$-তম ও $r$-তম পদ। তাহলে
$\frac{T_{r+1}}{T_r}=\frac{n-r+1}{r}\cdot x$
$T_{r+1}\ge T_r$ হওয়ার শর্ত: $\frac{(n-r+1)x}{r}\ge1 \Rightarrow r\le\frac{(n+1)x}{1+x}$।

মান বসাই: $\frac{(n+1)x}{1+x}=\frac{\frac{23}{2}\cdot\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{23}{5}=4.6$।

অতএব $r=4$ পর্যন্ত পদগুলো বাড়ছে, $r=5$ থেকে কমছে। যাচাই: $\frac{T_5}{T_4}=\frac{(n-3)x}{4}=\frac{\frac{15}{2}\cdot\frac{2}{3}}{4}=\frac{5}{4}>1$ এবং $\frac{T_6}{T_5}=\frac{(n-4)x}{5}=\frac{13}{15}<1$। তাই বৃহত্তম পদ $T_5$।

$T_5=\binom{n}{4}x^4=\frac{\frac{21}{2}\cdot\frac{19}{2}\cdot\frac{17}{2}\cdot\frac{15}{2}}{4!}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{101745}{16\cdot24}\cdot\frac{16}{81}=\frac{101745}{1944}=\frac{11305}{216}$

বৃহত্তম পদের সাংখ্যিক মান $=\frac{11305}{216}\approx 52.34$