গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$\log(x^n y^n) = x^n + y^n$
বা, $n \ln x + n \ln y = x^n + y^n$ [স্বাভাবিক লগারিদম বিবেচনা করে]

উভয়পক্ষকে $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{n}{x} + \frac{n}{y} \frac{dy}{dx} = n x^{n-1} + n y^{n-1} \frac{dy}{dx}$
বা, $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^{n-1} + y^{n-1} \frac{dy}{dx}$
বা, $\left( \frac{1}{y} - y^{n-1} \right) \frac{dy}{dx} = x^{n-1} - \frac{1}{x}$
বা, $\left( \frac{1 - y^n}{y} \right) \frac{dy}{dx} = \frac{x^n - 1}{x}$
বা, $\frac{dy}{dx} = \frac{y(x^n - 1)}{x(1 - y^n)} = -\frac{y(x^n - 1)}{x(y^n - 1)}$

অতএব, নির্ণেয় সরলতম মান: $-\frac{y(x^n - 1)}{x(y^n - 1)}$