পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে ভেক্টরের মান শূন্য এবং যার কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই, তাকে নাল ভেক্টর বা শূন্য ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স দ্বারা প্রতি একক আয়তনে ক্ষেত্রটির মোট বহির্গামী বা অন্তর্গামী ফ্লাক্সের হার নির্দেশিত হয়। এর ভৌত তাৎপর্য নিম্নরূপ:
   ১. যদি কোনো বিন্দুতে ডাইভারজেন্স ধনাত্মক হয়, তবে বুঝতে হবে ক্ষেত্রটির উৎস (source) সেখানে অবস্থিত অর্থাৎ ফ্লাক্স নির্গত হচ্ছে এবং তরলের ঘনত্ব হ্রাস পাচ্ছে।
   ২. যদি ডাইভারজেন্স ঋণাত্মক হয়, তবে বুঝতে হবে সেখানে একটি সিঙ্ক (sink) বিদ্যমান অর্থাৎ ফ্লাক্স প্রবেশ করছে এবং তরলের ঘনত্ব বৃদ্ধি পাচ্ছে।
   ৩. যদি ডাইভারজেন্স শূন্য হয়, তবে কোনো নির্দিষ্ট আয়তনে যে পরিমাণ ফ্লাক্স প্রবেশ করে ঠিক সেই পরিমাণ ফ্লাক্স নির্গত হয়। এমন ক্ষেত্রকে সলিনয়ডাল (Solenoidal) ক্ষেত্র বলা হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{P} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$

   ধনাত্মক $x$-অক্ষের একক ভেক্টর $\hat{i}$।
   ধরি, $\vec{P}$ ভেক্টরটি ধনাত্মক $x$-অক্ষের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে।

   আমরা জানি,
   $\vec{P} \cdot \hat{i} = |\vec{P}| \times |\hat{i}| \cos \theta$

   এখানে,
   $|\vec{P}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$
   এবং $|\hat{i}| = 1$

   আবার,
   $\vec{P} \cdot \hat{i} = (2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot \hat{i} = 2$

   অতএব,
   $2 = 3 \times 1 \times \cos \theta$
   বা, $\cos \theta = \frac{2}{3}$
   বা, $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) \approx 48.19^\circ$

   সুতরাং, $\vec{P}$ ও ধনাত্মক $x$-অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ প্রায় $48.19^\circ$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টরদ্বয়:
   $\vec{P} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$
   $\vec{Q} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + a\hat{k}$

   ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণফল ও ভেক্টর গুণফলের মান সমান হওয়ার শর্তানুসারে,
   $|\vec{P} \cdot \vec{Q}| = |\vec{P} \times \vec{Q}|$
   বা, $PQ |\cos \theta| = PQ \sin \theta$ (যেখানে $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ)
   বা, $\tan \theta = \pm 1$
   যেহেতু $\sin \theta \ge 0$, তাই $\theta = 45^\circ$ অথবা $\theta = 135^\circ$ হতে পারে।
   অর্থাৎ, $\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$

   এখন, $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 2(2) + 2(2) + (-1)(a) = 4 + 4 - a = 8 - a$
   $|\vec{P}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = 3$
   $|\vec{Q}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + a^2} = \sqrt{8 + a^2}$

   আমরা জানি,
   $\cos \theta = \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{P}||\vec{Q}|} = \frac{8 - a}{3\sqrt{8 + a^2}}$

   উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,
   $\cos^2 \theta = \frac{(8 - a)^2}{9(8 + a^2)}$
   বা, $\frac{1}{2} = \frac{64 - 16a + a^2}{72 + 9a^2}$
   বা, $72 + 9a^2 = 2(64 - 16a + a^2)$
   বা, $72 + 9a^2 = 128 - 32a + 2a^2$
   বা, $7a^2 + 32a - 56 = 0$

   দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র প্রয়োগ করে:
   $a = \frac{-32 \pm \sqrt{32^2 - 4 \times 7 \times (-56)}}{2 \times 7}$
   বা, $a = \frac{-32 \pm \sqrt{1024 + 1568}}{14}$
   বা, $a = \frac{-32 \pm \sqrt{2592}}{14}$
   বা, $a = \frac{-32 \pm 50.91}{14}$

   সুতরাং,
   $a_1 = \frac{-32 + 50.91}{14} \approx 1.35$
   $a_2 = \frac{-32 - 50.91}{14} \approx -5.92$

   অতএব, $a$-এর সম্ভাব্য মান প্রায় $1.35$ অথবা $-5.92$ হলে ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণফল ও ভেক্টর গুণফলের মান সমান হবে।