গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$\angle A = 105^\circ$
$\angle B = 15^\circ$
$\therefore \angle C = 180^\circ - (105^\circ + 15^\circ) = 60^\circ$
এবং বাহু $c = \sqrt{3} - 1$

আমরা জানি,
$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$
$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

বাহু $a$ নির্ণয়:
$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{(\sqrt{3}-1) \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3-1}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

বাহু $b$ নির্ণয়:
$b = \frac{c \sin B}{\sin C} = \frac{(\sqrt{3}-1) \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{\sqrt{6}} = \frac{4-2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{3}$

অতএব, ত্রিভুজের বাহুত্রয় হলো:
$a = \frac{\sqrt{6}}{3}$
$b = \frac{2\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{3}$
$c = \sqrt{3}-1$