উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2x^2}$
   $= \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2x^2}$
   $= \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2}$
   $= \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(x/2)}{x/2} \right)^2 \cdot \frac{1}{4}$
   $= (1)^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

   অতএব, নির্ণেয় মান $\frac{1}{4}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = e^{m\sin^{-1}(2x)}$

   উভয়পক্ষকে $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $f'(x) = e^{m\sin^{-1}(2x)} \cdot \frac{d}{dx}\left(m\sin^{-1}(2x)\right)$
   $f'(x) = f(x) \cdot m \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} \cdot 2$
   $\Rightarrow \sqrt{1 - 4x^2} \cdot f'(x) = 2m f(x)$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $(1 - 4x^2) \{f'(x)\}^2 = 4m^2 \{f(x)\}^2$

   পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $(1 - 4x^2) \cdot 2f'(x)f''(x) + (-8x) \{f'(x)\}^2 = 4m^2 \cdot 2f(x)f'(x)$

   উভয়পক্ষকে $2f'(x)$ দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু $f'(x) \neq 0$):
   $(1 - 4x^2)f''(x) - 4x f'(x) = 4m^2 f(x)$
   (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $g'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$
   এবং
   $g''(x) = 12x - 6$

   চরমমানের (গুরুমান বা লঘুমান) জন্য $g'(x) = 0$ হবে।
   তাহলে, $6(x - 2)(x + 1) = 0$
   $\therefore x = 2$ অথবা $x = -1$

   যখন $x = -1$:
   $g''(-1) = 12(-1) - 6 = -18 < 0$
   সুতরাং, $x = -1$ বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান (সর্বোচ্চ মান) বিদ্যমান।
   $\therefore$ গুরুমান $= g(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 1 = -2 - 3 + 12 + 1 = 8$

   যখন $x = 2$:
   $g''(2) = 12(2) - 6 = 18 > 0$
   সুতরাং, $x = 2$ বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান (সর্বনিম্ন মান) বিদ্যমান।
   $\therefore$ লঘুমান $= g(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 16 - 12 - 24 + 1 = -19$

   অতএব, ফাংশনটির চরমমানসমূহ: গুরুমান $8$ এবং লঘুমান $-19$।