যদি $\lim _{x ightarrow 0}\left\{1+x \ln \left(1+b^{2} ight) ight\}^{\frac{1}{x}}=2 b \sin ^{2} heta$ , $b0$ এবং $ heta \in(-\pi, \pi)$ হয় তবে $ heta=?$

Question

যদি $\lim _{x ightarrow 0}\left\{1+x \ln \left(1+b^{2}ight)ight\}^{\frac{1}{x}}=2 b \sin ^{2} 	heta$ , $b>0$ এবং $	heta \in(-\pi, \pi)$ হয় তবে $	heta=?$

Accepted Answer

ঘ. $\pm \frac{\pi}{2}$

ব্যাখ্যা: $\lim_{x 	o 0}(1 + kx)^{1/x} = e^k$। এখানে $k = \ln(1 + b^2)$, তাই সীমা $= 1 + b^2$।
শর্ত অনুযায়ী $1 + b^2 = 2b\sin^2	heta$। কিন্তু $b > 0$ হলে $1 + b^2 \geq 2b$ (AM-GM) এবং $2b\sin^2	heta \leq 2b$।
সমতা হতে হলে $b = 1$ ও $\sin^2	heta = 1$, অর্থাৎ $	heta = \pm\frac{\pi}{2}$।

**শর্টকাট:** $1 + b^2 \geq 2b \geq 2b\sin^2	heta$ থেকে বোঝা যায় সমতা কেবল $\sin^2	heta = 1$ হলে সম্ভব।

**একই ধরনের প্রশ্ন:**
১. $\lim_{x 	o 0}(1 + x)^{1/x}$ এর মান কত?
*উত্তর:* $e$

প্রশ্ন ও সমাধান

সম্পর্কিত প্রশ্ন