গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত বক্ররেখার সমীকরণ:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = a \quad \text{--- (i)}$

ধরি, বক্ররেখার উপর যেকোনো একটি বিন্দু $P(x_1, y_1)$।
যেহেতু $P$ বিন্দুটি বক্ররেখার উপর অবস্থিত, সুতরাং,
$\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1} = a \quad \text{--- (ii)}$

(i) নং সমীকরণকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$
$\implies \frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

অতএব, $P(x_1, y_1)$ বিন্দুতে বক্ররেখার স্পর্শকের ঢাল,
$m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_1, y_1)} = -\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}$

সুতরাং, $P(x_1, y_1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
$y - y_1 = -\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}} (x - x_1)$
$\implies \frac{y}{\sqrt{y_1}} - \sqrt{y_1} = -\frac{x}{\sqrt{x_1}} + \sqrt{x_1}$
$\implies \frac{x}{\sqrt{x_1}} + \frac{y}{\sqrt{y_1}} = \sqrt{x_1} + \sqrt{y_1}$

(ii) নং হতে পাই,
$\frac{x}{\sqrt{x_1}} + \frac{y}{\sqrt{y_1}} = a$
$\implies \frac{x}{a\sqrt{x_1}} + \frac{y}{a\sqrt{y_1}} = 1$

সুতরাং, অক্ষ দুইটি থেকে কর্তিত অংশদ্বয় হলো যথাক্রমে $a\sqrt{x_1}$ এবং $a\sqrt{y_1}$।

কর্তিত অংশদ্বয়ের যোগফল:
$= a\sqrt{x_1} + a\sqrt{y_1} = a(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1}) = a \cdot a = a^2$

যেহেতু $a^2$ একটি ধ্রুবক, সুতরাং বক্ররেখাটির যে কোনো স্পর্শক দ্বারা অক্ষ দুইটি থেকে কর্তিত অংশদ্বয়ের যোগফল একটি ধ্রুবক। (দেখানো হলো)