উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

P(x)=cos⁡x,x236+y225=1 P(x)=\cos x, \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{25}=1

  1. ক)

    ∫0π4dx1+cos⁡2x \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{1+\cos 2 x} এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    ∫0π2x2P(x)dx \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2} P(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপকের উপবৃত্ত এবং x = 3 রেখা দ্বারা আবন্দ্ব ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমাকলন:
    I=∫0π4dx1+cos⁡2xI = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \cos 2x}

    আমরা জানি, 1+cos⁡2x=2cos⁡2x1 + \cos 2x = 2\cos^2 x

    ∴I=∫0π4dx2cos⁡2x=12∫0π4sec⁡2x dx\therefore I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{2\cos^2 x} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx
    =12[tan⁡x]0π4= \frac{1}{2} [\tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}
    =12(tan⁡π4−tan⁡0)= \frac{1}{2} \left( \tan \frac{\pi}{4} - \tan 0 \right)
    =12(1−0)=12= \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2}

    অতএব, নির্ণেয় মান 12\frac{1}{2}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, P(x)=cos⁡xP(x) = \cos x
    নির্ণেয় মান I=∫0π2x2cos⁡x dxI = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \, dx

    অংশক্রমিক সমাকলন পদ্ধতি (u=x2,v=cos⁡xu = x^2, v = \cos x) প্রয়োগ করে পাই,
    ∫x2cos⁡x dx=x2(sin⁡x)−∫2xsin⁡x dx\int x^2 \cos x \, dx = x^2 (\sin x) - \int 2x \sin x \, dx
    =x2sin⁡x−2[x(−cos⁡x)−∫1⋅(−cos⁡x) dx]= x^2 \sin x - 2 \left[ x(-\cos x) - \int 1 \cdot (-\cos x) \, dx \right]
    =x2sin⁡x+2xcos⁡x−2∫cos⁡x dx= x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \int \cos x \, dx
    =x2sin⁡x+2xcos⁡x−2sin⁡x= x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x
    =(x2−2)sin⁡x+2xcos⁡x= (x^2 - 2) \sin x + 2x \cos x

    সীমা প্রয়োগ করে পাই,
    I=[(x2−2)sin⁡x+2xcos⁡x]0π2I = \left[ (x^2 - 2) \sin x + 2x \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
    =[((π2)2−2)sin⁡π2+2(π2)cos⁡π2]−[(0−2)sin⁡0+2(0)cos⁡0]= \left[ \left( \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 - 2 \right) \sin\frac{\pi}{2} + 2\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\frac{\pi}{2} \right] - \left[ (0 - 2) \sin 0 + 2(0) \cos 0 \right]
    =(π24−2)(1)+π(0)−[0+0]= \left( \frac{\pi^2}{4} - 2 \right)(1) + \pi(0) - [0 + 0]
    =π24−2= \frac{\pi^2}{4} - 2

    অতএব, নির্ণেয় মান π2−84\frac{\pi^2 - 8}{4} বা π24−2\frac{\pi^2}{4} - 2।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উপবৃত্তের সমীকরণ: x236+y225=1  ⟹  x262+y252=1\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25} = 1 \implies \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1
    এখানে a=6,b=5a = 6, b = 5।
    উপবৃত্তটি xx-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম।
    x=3x = 3 থেকে x=6x = 6 পর্যন্ত বিস্তৃত অংশটি হলো ক্ষুদ্রতর অংশ।

    উপবৃত্ত থেকে পাই,
    y225=1−x236=36−x236\frac{y^2}{25} = 1 - \frac{x^2}{36} = \frac{36 - x^2}{36}
    ∴y=5636−x2\therefore y = \frac{5}{6} \sqrt{36 - x^2}

    ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল,
    A=2∫36y dx=2×56∫3662−x2 dxA = 2 \int_{3}^{6} y \, dx = 2 \times \frac{5}{6} \int_{3}^{6} \sqrt{6^2 - x^2} \, dx
    =53[x236−x2+362sin⁡−1(x6)]36= \frac{5}{3} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{36 - x^2} + \frac{36}{2} \sin^{-1}\left(\frac{x}{6}\right) \right]_{3}^{6}
    =53[x236−x2+18sin⁡−1(x6)]36= \frac{5}{3} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{36 - x^2} + 18 \sin^{-1}\left(\frac{x}{6}\right) \right]_{3}^{6}

    উর্ধ্বসীমা বসিয়ে:
    6236−36+18sin⁡−1(1)=0+18(π2)=9π\frac{6}{2} \sqrt{36 - 36} + 18 \sin^{-1}(1) = 0 + 18 \left(\frac{\pi}{2}\right) = 9\pi

    নিম্নসীমা বসিয়ে:
    3236−9+18sin⁡−1(36)=3227+18sin⁡−1(12)=932+18(π6)=932+3π\frac{3}{2} \sqrt{36 - 9} + 18 \sin^{-1}\left(\frac{3}{6}\right) = \frac{3}{2} \sqrt{27} + 18 \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{9\sqrt{3}}{2} + 18 \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{9\sqrt{3}}{2} + 3\pi

    ∴A=53[9π−(932+3π)]\therefore A = \frac{5}{3} \left[ 9\pi - \left( \frac{9\sqrt{3}}{2} + 3\pi \right) \right]
    =53[6π−932]= \frac{5}{3} \left[ 6\pi - \frac{9\sqrt{3}}{2} \right]
    =10π−1532= 10\pi - \frac{15\sqrt{3}}{2} বর্গ একক।

    অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল (10π−1532)\left(10\pi - \frac{15\sqrt{3}}{2}\right) বর্গ একক (বা প্রায় 18.42818.428 বর্গ একক)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন