পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে ভেক্টর ডিফারেনশিয়াল অপারেটর (ডেল, $\vec{\nabla}$)-এর ভেক্টর বা ক্রস গুণনকে ওই ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল (Curl) বলে। এটি কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ঘূর্ণন প্রবণতা নির্দেশ করে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, দুটি সমান মানের ভেক্টর $\vec{P}$ এবং $\vec{Q}$, যাদের মান $P = Q$ এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$। এদের লব্ধি ভেক্টর $\vec{R}$, $\vec{P}$ এর সাথে $\theta$ কোণ তৈরি করলে লব্ধির দিকের সূত্রানুসারে:
   $\tan\theta = \frac{Q\sin\alpha}{P + Q\cos\alpha}$
   যেহেতু $P = Q$, সুতরাং:
   $\tan\theta = \frac{P\sin\alpha}{P + P\cos\alpha} = \frac{P\sin\alpha}{P(1 + \cos\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$
   ত্রিকোণমিতিক সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
   $\tan\theta = \frac{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{2\cos^2(\alpha/2)} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \tan(\alpha/2)$
   অতএব, $\theta = \frac{\alpha}{2}$।

   অর্থাৎ, লব্ধি ভেক্টরটি ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$-কে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করে বা সমদ্বিখণ্ডিত করে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{A} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$
   $\vec{B} = \hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$

   ভেক্টর $\vec{B}$ বরাবর ভেক্টর $\vec{A}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ হলো $A\cos\theta_1$।
   আমরা জানি, ডট গুণনের সংজ্ঞানুযায়ী,
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta_1$
   বা, $A\cos\theta_1 = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$

   এখানে,
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (-2)(-3) + (2)(6) = 2 + 6 + 12 = 20$
   এবং,
   $|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 9 + 36} = \sqrt{46}$

   অতএব, নির্ণেয় লম্ব অভিক্ষেপ:
   $A\cos\theta_1 = \frac{20}{\sqrt{46}} \approx 2.949\text{ একক}$

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের প্রথম চিত্রানুযায়ী, $\theta_1$ হলো $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ।
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta_1$
   এখানে,
   $|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12}$
   $|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{46}$
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = 20$

   অতএব,
   $\cos\theta_1 = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|} = \frac{20}{\sqrt{12}\cdot\sqrt{46}} = \frac{20}{\sqrt{552}} \approx \frac{20}{23.495} \approx 0.8512$
   $\theta_1 = \cos^{-1}(0.8512) \approx 31.66^\circ$

   দ্বিতীয় চিত্রানুযায়ী, $\theta_2$ হলো $(\vec{A}+\vec{B})$ এবং $(\vec{A}-\vec{B})$ এর মধ্যবর্তী কোণ।
   ধরি, $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B} = (2+1)\hat{i} + (-2-3)\hat{j} + (2+6)\hat{k} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 8\hat{k}$
   এবং $\vec{D} = \vec{A} - \vec{B} = (2-1)\hat{i} + (-2-(-3))\hat{j} + (2-6)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$

   এখন,
   $\vec{C} \cdot \vec{D} = (3)(1) + (-5)(1) + (8)(-4) = 3 - 5 - 32 = -34$
   $|\vec{C}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 25 + 64} = \sqrt{98}$
   $|\vec{D}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18}$

   তাহলে,
   $\cos\theta_2 = \frac{\vec{C} \cdot \vec{D}}{|\vec{C}||\vec{D}|} = \frac{-34}{\sqrt{98} \cdot \sqrt{18}} = \frac{-34}{\sqrt{1764}} = \frac{-34}{42} \approx -0.8095$
   $\theta_2 = \cos^{-1}(-0.8095) \approx 144.05^\circ$

   যেহেতু $\theta_1 \approx 31.66^\circ$ এবং $\theta_2 \approx 144.05^\circ$, অর্থাৎ $\theta_1 \neq \theta_2$।

   সুতরাং উদ্দীপকের আলোকে $\theta_1 = \theta_2$ হওয়া সম্ভব নয়।