∫−11ex1+2exdx\int_{-1}^{1} \frac{e^x}{1+2e^x} dx এর মান কোনটি?

Question

Accepted Answer

খ. 12ln⁡1+2e1+2e−1\frac{1}{2}\ln\frac{1+2e}{1+2e^{-1}}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্দিষ্ট সমাকলন: $I = \int_{-1}^{1} \frac{e^x}{1+2e^x} dx$। ধরি, $u = 1+2e^x$। তাহলে, $du = 2e^x dx \implies e^x dx = \frac{1}{2}du$। চলকের সীমা পরিবর্তন করি: যখন $x = 1$, $u = 1+2e$ এবং যখন $x = -1$, $u = 1+2e^{-1}$। সুতরাং, $I = \frac{1}{2} \int_{1+2e^{-1}}^{1+2e} \frac{du}{u} = \frac{1}{2} [\ln u]_{1+2e^{-1}}^{1+2e} = \frac{1}{2} \left[\ln(1+2e) - \ln(1+2e^{-1})\right] = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+2e}{1+2e^{-1}}\right)$।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন