গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $f(x) = x^3 - 3x - 5$
তাহলে, $f'(x) = 3x^2 - 3$

এখন,
$f(2) = 2^3 - 3(2) - 5 = -3 < 0$
$f(3) = 3^3 - 3(3) - 5 = 13 > 0$
যেহেতু $f(2)$ ও $f(3)$ বিপরীত চিহ্নযুক্ত, তাই মূলটি $2$ ও $3$-এর মধ্যে বিদ্যমান।

ধরি, প্রারম্ভিক আসন্ন মান $x_0 = 2$।

নিউটন-রাফসন সূত্রানুসারে,
$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

১ম আসন্ন মান ($n=0$):
$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 - \frac{f(2)}{f'(2)} = 2 - \frac{-3}{3(2)^2 - 3} = 2 - \frac{-3}{9} = 2 + 0.3333 = 2.3333$

২য় আসন্ন মান ($n=1$):
$f(x_1) = f(2.3333) = (2.3333)^3 - 3(2.3333) - 5 \approx 0.7037$
$f'(x_1) = f'(2.3333) = 3(2.3333)^2 - 3 \approx 13.3333$
$x_2 = 2.3333 - \frac{0.7037}{13.3333} \approx 2.3333 - 0.0528 = 2.2805$

৩য় আসন্ন মান ($n=2$):
$f(x_2) = f(2.2805) = (2.2805)^3 - 3(2.2805) - 5 \approx 0.0187$
$f'(x_2) = f'(2.2805) = 3(2.2805)^2 - 3 \approx 12.6020$
$x_3 = 2.2805 - \frac{0.0187}{12.6020} \approx 2.2805 - 0.0015 = 2.2790$

দেখা যাচ্ছে যে, দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত মূল স্থির থাকে।

অতএব, নির্ণেয় মূল (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত) = $2.28$।