গণিত • CUET • চট্টগ্রাম প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০২৪-২০২৫

গণিত প্রশ্ন

12.

acos⁡α+bsin⁡α=acos⁡β+bsin⁡β a \cos \alpha + b \sin \alpha = a \cos \beta + b \sin \beta হলে দেখাও যে, cos⁡(α+β)=a2−b2a2+b2 \cos (\alpha + \beta) = \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

স্পষ্ট অনুমান: ধরে নেওয়া হয়েছে যে α≢β(mod2π)\alpha \not\equiv \beta \pmod{2\pi}, যাতে sin⁡α−β2≠0\sin \frac{\alpha - \beta}{2} \neq 0 হয়।

দেওয়া আছে,
acos⁡α+bsin⁡α=acos⁡β+bsin⁡βa \cos \alpha + b \sin \alpha = a \cos \beta + b \sin \beta
  ⟹  a(cos⁡α−cos⁡β)=−b(sin⁡α−sin⁡β)\implies a(\cos \alpha - \cos \beta) = -b(\sin \alpha - \sin \beta)
  ⟹  a(−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2)=−b(2cos⁡α+β2sin⁡α−β2)\implies a \left( -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \right) = -b \left( 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \right)
  ⟹  asin⁡α+β2=bcos⁡α+β2[∵sin⁡α−β2≠0]\implies a \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = b \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \quad \left[\because \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \neq 0\right]
  ⟹  tan⁡α+β2=ba\implies \tan \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{b}{a}

আমরা জানি,
cos⁡(α+β)=1−tan⁡2α+β21+tan⁡2α+β2=1−b2a21+b2a2=a2−b2a2+b2\cos(\alpha + \beta) = \frac{1 - \tan^2\frac{\alpha + \beta}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha + \beta}{2}} = \frac{1 - \frac{b^2}{a^2}}{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}
(দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন