গণিত • CUET • চট্টগ্রাম প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০২৪-২০২৫

গণিত প্রশ্ন

4.

A=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ] A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} এবং A2=12[1−331] A^2 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -\sqrt{3} \ \sqrt{3} & 1 \end{bmatrix} θ \theta এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
A=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}

অতএব,
A2=A⋅A=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ][cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}
=[cos⁡2θ−sin⁡2θ−cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θsin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ−sin⁡2θ+cos⁡2θ]= \begin{bmatrix} \cos^2 \theta - \sin^2 \theta & -\cos \theta \sin \theta - \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta & -\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \end{bmatrix}
=[cos⁡2θ−sin⁡2θsin⁡2θcos⁡2θ]= \begin{bmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix}

আবার প্রশ্নমতে,
A2=12[1−331]=[12−323212]A^2 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}

ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে,
cos⁡2θ=12\cos 2\theta = \frac{1}{2}
এবং
sin⁡2θ=32\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}

আমরা জানি, cos⁡π3=12\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} এবং sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}।
সুতরাং,
2θ=2nπ+π3,n∈Z2\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}
  ⟹  θ=nπ+π6,n∈Z\implies \theta = n\pi + \frac{\pi}{6}, \quad n \in \mathbb{Z}

মুখ্য মান (Principal value) বিবেচনায়,
θ=π6 বা 30∘\theta = \frac{\pi}{6} \text{ বা } 30^\circ

উত্তর: θ=nπ+π6,  n∈Z\theta = n\pi + \frac{\pi}{6}, \; n \in \mathbb{Z} (সাধারণ সমাধান) অথবা θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} (মুখ্য সমাধান)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন