গণিত • CUET • চট্টগ্রাম প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০২৪-২০২৫

গণিত প্রশ্ন

2.

y=a+bcos⁡x y = \sqrt{a + b \cos x} , হলে, দেখাও যে 2yd2ydx2+2(dydx)2+y2=a 2y \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y^2 = a

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
y=a+bcos⁡xy = \sqrt{a + b \cos x}
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
y2=a+bcos⁡x…(1)y^2 = a + b \cos x \quad \dots (1)
উভয়পক্ষকে xx-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
ddx(y2)=ddx(a+bcos⁡x)\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(a + b \cos x)
2ydydx=−bsin⁡x2y \frac{dy}{dx} = -b \sin x

পুনরায় xx-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
2[yd2ydx2+(dydx)⋅dydx]=−bcos⁡x2 \left[ y \frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dy}{dx} \right] = -b \cos x
2yd2ydx2+2(dydx)2=−bcos⁡x2y \frac{d^2y}{dx^2} + 2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = -b \cos x

(1) হতে আমরা জানি, bcos⁡x=y2−ab \cos x = y^2 - a।
অতএব,
2yd2ydx2+2(dydx)2=−(y2−a)2y \frac{d^2y}{dx^2} + 2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = -(y^2 - a)
2yd2ydx2+2(dydx)2=a−y22y \frac{d^2y}{dx^2} + 2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = a - y^2
∴2yd2ydx2+2(dydx)2+y2=a(দেখানো হলো)\therefore 2y \frac{d^2y}{dx^2} + 2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y^2 = a \quad \text{(দেখানো হলো)}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন