গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ:
$4x^2 - 8x - 5y^2 - 20y - 36 = 0$
$\Rightarrow 4(x^2 - 2x + 1) - 5(y^2 + 4y + 4) - 36 - 4 + 20 = 0$
$\Rightarrow 4(x - 1)^2 - 5(y + 2)^2 - 20 = 0$
$\Rightarrow 4(x - 1)^2 - 5(y + 2)^2 = 20$
$\Rightarrow \frac{(x - 1)^2}{5} - \frac{(y + 2)^2}{4} = 1$

এটি কণিকটির আদর্শ আকার, যা $\frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 1$ আকারের একটি অধিবৃত্ত।
এখানে, $X = x - 1$, $Y = y + 2$, $a^2 = 5 \implies a = \sqrt{5}$ এবং $b^2 = 4 \implies b = 2$।

অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{9}{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

নাভিলম্বের সমীকরণ:
$X = \pm ae$
$\Rightarrow x - 1 = \pm \sqrt{5} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}}$
$\Rightarrow x - 1 = \pm 3$

ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে, $x - 1 = 3 \implies x = 4$
ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে, $x - 1 = -3 \implies x = -2$

উত্তর:
আদর্শ আকার: $\frac{(x - 1)^2}{5} - \frac{(y + 2)^2}{4} = 1$
নাভিলম্বের সমীকরণ: $x = 4$ এবং $x = -2$ (বা, $x - 4 = 0$ এবং $x + 2 = 0$)।