গণিত • KUET • খুলনা প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০১৯-২০২০

গণিত প্রশ্ন

14.

প্রমাণ কর যে, costan-¹cotsin=¹x = x (চিত্র আবশ্যক)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

বামপক্ষ = cos⁡(tan⁡−1(cot⁡(sin⁡−1x)))\cos(\tan^{-1}(\cot(\sin^{-1} x)))

চিত্র ১: ধরি, θ=sin⁡−1x  ⟹  sin⁡θ=x1\theta = \sin^{-1} x \implies \sin\theta = \frac{x}{1}
একটি সমকোণী ত্রিভুজে লম্ব = xx এবং অতিভুজ = 11 হলে,
ভূমি = 12−x2=1−x2\sqrt{1^2 - x^2} = \sqrt{1 - x^2}
∴cot⁡θ=ভূমিলম্ব=1−x2x\therefore \cot\theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{লম্ব}} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
অতএব, sin⁡−1x=cot⁡−1(1−x2x)\sin^{-1} x = \cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\right)

সুতরাং,
cot⁡(sin⁡−1x)=cot⁡(cot⁡−1(1−x2x))=1−x2x\cot(\sin^{-1} x) = \cot\left(\cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\right)\right) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}

তাহলে রাশিটি দাঁড়ায়:
cos⁡(tan⁡−1(1−x2x))\cos\left(\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\right)\right)

চিত্র ২: আবার ধরি, ϕ=tan⁡−1(1−x2x)  ⟹  tan⁡ϕ=1−x2x\phi = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\right) \implies \tan\phi = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
অন্য একটি সমকোণী ত্রিভুজে লম্ব = 1−x2\sqrt{1 - x^2} এবং ভূমি = xx হলে,
অতিভুজ = (1−x2)2+x2=1−x2+x2=1\sqrt{(\sqrt{1 - x^2})^2 + x^2} = \sqrt{1 - x^2 + x^2} = 1
∴cos⁡ϕ=ভূমিঅতিভুজ=x1=x\therefore \cos\phi = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{x}{1} = x
অতএব, tan⁡−1(1−x2x)=cos⁡−1(x)\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\right) = \cos^{-1}(x)

সুতরাং,
cos⁡(tan⁡−1(1−x2x))=cos⁡(cos⁡−1x)=x\cos\left(\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\right)\right) = \cos(\cos^{-1} x) = x = ডানপক্ষ।

(প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন