গণিত • KUET • খুলনা প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০১৯-২০২০

গণিত প্রশ্ন

4.

A, B এবং C প্রাথমিকভাবে একই বিন্দুতে অবস্থান করছিল। সেখান থেকে B, 10 একক দক্ষিণে যেয়ে তারপর 5 একক পূর্বদিকে যাবার পর 3 একক উর্ধ্বমুখে গেল। অন্যদিকে C প্রথমে 5 একক উত্তরে যেয়ে 7 একক পূর্বে এসে 5 একক নীচে নেমে গেল। B ও C এর শেষ অবস্থানকে A এর সাথে সরলরেখা দ্বারা যুক্ত করলে AB ও AC এর মধ্যে যে কোণ উৎপন্ন হবে তার মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, AA বিন্দুর অবস্থান মূলবিন্দু (0,0,0)(0, 0, 0)।
স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা হিসেবে ধরি:
পূর্ব দিক = +x+x অক্ষ
উত্তর দিক = +y+y অক্ষ (দক্ষিণ দিক = −y-y অক্ষ)
উর্ধ্ব দিক = +z+z অক্ষ (নিম্ন দিক = −z-z অক্ষ)

প্রশ্নানুসারে,
BB এর অবস্থান: 55 একক পূর্ব, 1010 একক দক্ষিণ এবং 33 একক উর্ধ্বমুখে।
∴AB⃗=5i^−10j^+3k^\therefore \vec{AB} = 5\hat{i} - 10\hat{j} + 3\hat{k}

CC এর অবস্থান: 77 একক পূর্ব, 55 একক উত্তর এবং 55 একক নিম্নে।
∴AC⃗=7i^+5j^−5k^\therefore \vec{AC} = 7\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}

AB⃗\vec{AB} ও AC⃗\vec{AC} এর মধ্যবর্তী কোণ θ\theta হলে,
AB⃗⋅AC⃗=∣AB⃗∣∣AC⃗∣cos⁡θ\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos\theta

এখানে,
AB⃗⋅AC⃗=(5)(7)+(−10)(5)+(3)(−5)=35−50−15=−30\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (5)(7) + (-10)(5) + (3)(-5) = 35 - 50 - 15 = -30
∣AB⃗∣=52+(−10)2+32=25+100+9=134|\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + (-10)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 100 + 9} = \sqrt{134}
∣AC⃗∣=72+52+(−5)2=49+25+25=99=311|\vec{AC}| = \sqrt{7^2 + 5^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 25 + 25} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}

cos⁡θ=AB⃗⋅AC⃗∣AB⃗∣∣AC⃗∣=−30134×99=−3013266≈−0.26047\cos\theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{-30}{\sqrt{134} \times \sqrt{99}} = \frac{-30}{\sqrt{13266}} \approx -0.26047
θ=cos⁡−1(−0.26047)≈105.10∘\theta = \cos^{-1}(-0.26047) \approx 105.10^\circ

অতএব, ABAB ও ACAC এর মধ্যবর্তী কোণ প্রায় 105.10∘105.10^\circ।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন