গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত রাশি:
$\frac{(1+x)^n}{1-x} = (1+x)^n (1-x)^{-1}$

যেহেতু $|x| < 1$, তাই অসীম দ্বিপদী বিস্তৃতি অনুসারে,
$(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \cdots$

এবং সসীম দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে,
$(1+x)^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 + \cdots + \binom{n}{n}x^n$

অতএব,
$\frac{(1+x)^n}{1-x} = \left[\binom{n}{0} + \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 + \cdots + \binom{n}{n}x^n\right] \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots\right)$

উক্ত গুণফলে $x^n$ এর সহগ হবে:
$= \binom{n}{0}\cdot 1 + \binom{n}{1}\cdot 1 + \binom{n}{2}\cdot 1 + \cdots + \binom{n}{n}\cdot 1$
$= \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \cdots + \binom{n}{n}$
$= 2^n$

সুতরাং, $(1+x)^n / (1-x)$ এর বিস্তৃতিতে $x^n$ এর সহগ $2^n$। (দেখানো হলো)