পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সমগ্রকের প্রতিনিধিত্বকারী একটি নির্দিষ্ট ক্ষুদ্র অংশকে নমুনা (Sample) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সপ্তাহের দিন সংখ্যা কোনো চলক নয়, এটি একটি ধ্রুবক।

   কারণ চলক হলো সেই বৈশিষ্ট্য যা ব্যক্তি, স্থান বা সময়ভেদে পরিবর্তনশীল হয়। কিন্তু যেকোনো সপ্তাহে দিন সংখ্যা সবসময় ৭ দিন থাকে, যা কখনো পরিবর্তিত হয় না। যেহেতু সপ্তাহের দিন সংখ্যা সর্বদা অপরিবর্তিত থাকে, তাই এটি ধ্রুবক, চলক নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $x_1 = 5$, $x_2 = -2$, $x_3 = 4$, $x_4 = 2$, $x_5 = 0$.

   প্রথমে $\sum_{i=1}^{5} x_i$ এবং $\sum_{i=1}^{5} x_i^2$ এর মান নির্ণয় করি:
   $\sum_{i=1}^{5} x_i = 5 + (-2) + 4 + 2 + 0 = 9$.
   $\sum_{i=1}^{5} x_i^2 = 5^2 + (-2)^2 + 4^2 + 2^2 + 0^2 = 25 + 4 + 16 + 4 + 0 = 49$.

   এখন প্রদত্ত রাশি,
   $\sum_{i=1}^{5} (3x_i^2 + 2x_i + 1)$
   $= 3 \sum_{i=1}^{5} x_i^2 + 2 \sum_{i=1}^{5} x_i + \sum_{i=1}^{5} 1$
   $= 3(49) + 2(9) + (5 \times 1)$
   $= 147 + 18 + 5$
   $= 170$.

   অতএব, নির্ণেয় মান ১৭০।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   x₁ = 5, x₂ = -2, x₃ = 4, x₄ = 2, x₅ = 0.
   ফাহিমের মন্তব্য হলো: ∑{i=1}^{5} x_i² < (∑{j=1}^{5} x_1)²।

   বামপক্ষ:
   ∑_{i=1}^{5} x_i² = 5² + (-2)² + 4² + 2² + 0²
   = 25 + 4 + 16 + 4 + 0
   = 49.

   ডানপক্ষ:
   এখানে বন্ধনীর ভেতরে আছে ∑{j=1}^{5} x_1।
   যেহেতু x_1 = 5 (একটি নির্দিষ্ট মান), তাই
   ∑{j=1}^{5} x_1 = x_1 + x_1 + x_1 + x_1 + x_1 = 5 × 5 = 25.
   [নোট: যদি মুদ্রণপ্রমাদবশত এটি ∑{i=1}^{5} x_i ধরা হয়, তাহলেও ∑{i=1}^{5} x_i = 5 - 2 + 4 + 2 + 0 = 9 এবং তার বর্গ 9² = 81।]

   প্রশ্নানুসারে x_1 বিবেচনায়:
   (∑_{j=1}^{5} x_1)² = 25² = 625.

   যেহেতু 49 < 625 (বা সাধারণ যোগফল ধরলেও 49 < 81),
   উভয় ক্ষেত্রেই দেখা যায় যে, বামপক্ষ < ডানপক্ষ।

   অতএব, ফাহিমের মন্তব্যটি গাণিতিকভাবে সঠিক।