পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির অশূন্য ও ধনাত্মক n-সংখ্যক মানের গুণফলের n-তম মূলকে (n-th root) ঐ তথ্যসারির জ্যামিতিক গড় বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চতুর্থক হলো এমন তিনটি মান যা কোনো তথ্যসারি বা গণসংখ্যা নিবেশনকে মানের ক্রমানুসারে সাজালে সমান চারটি ভাগে বিভক্ত করে।

   একটি রেখাংশ বা সামগ্রিক তথ্যসারিকে সমান চার ভাগে ভাগ করতে তিনটি বিভাজন বিন্দুর প্রয়োজন হয়। এই তিনটি মানকে যথাক্রমে প্রথম চতুর্থক (Q₁), দ্বিতীয় চতুর্থক (Q₂ বা মধ্যমা) এবং তৃতীয় চতুর্থক (Q₃) বলা হয়। অতএব, ভাগের সংখ্যা চারটি হলেও বিভাজক মান তিনটি। এজন্য কোনো নিবেশনের চতুর্থক চারটি নয়, বরং তিনটি থাকে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মধ্যমা নির্ণয়ের জন্য ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি তৈরি করি:

   শ্রেণিব্যাপ্তি | গণসংখ্যা (fᵢ) | ক্রমযোজিত গণসংখ্যা ($F_c$)
   20 - 30 | 3 | 3
   30 - 40 | 7 | 10
   40 - 50 | 29 | 39
   50 - 60 | 25 | 64
   60 - 70 | 13 | 77
   70 - 80 | 9 | 86
   80 - 90 | 4 | 90
   মোট ($N = 90$)

   এখানে, $\frac{N}{2} = \frac{90}{2} = 45$।
   ক্রমযোজিত গণসংখ্যার মান 45 অন্তর্ভুক্ত রয়েছে (50 - 60) শ্রেণিতে।
   সুতরাং, মধ্যমা শ্রেণি হলো (50 - 60)।

   আমরা জানি, মধ্যমা ($M_e$) = $L + \frac{N/2 - F_c}{f_m} \times c$
   এখানে,
   $L$ = মধ্যমা শ্রেণির নিম্নসীমা = 50
   $F_c$ = মধ্যমা শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা = 39
   $f_m$ = মধ্যমা শ্রেণির গণসংখ্যা = 25
   $c$ = শ্রেণিব্যাপ্তি = 10

   অতএব, $M_e = 50 + \left\{\frac{45 - 39}{25}\right\} \times 10$
   $= 50 + \frac{6}{25} \times 10$
   $= 50 + 2.4 = 52.4$

   সুতরাং, ছাত্র-ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা 52.4।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   তথ্যের আকৃতি (বঙ্কিমতা) জানার জন্য গড় ($\bar{x}$) ও প্রচুরক ($M_o$) নির্ণয় করতে হবে।

   গণনা সারণি (ধরি, আনুমানিক গড় $a = 55$, $c = 10$):

   শ্রেণিব্যাপ্তি | মধ্যবিন্দু ($x_i$) | গণসংখ্যা ($f_i$) | $d_i = (x_i - 55)/10$ | $f_i d_i$
   20 - 30 | 25 | 3 | -3 | -9
   30 - 40 | 35 | 7 | -2 | -14
   40 - 50 | 45 | 29 | -1 | -29
   50 - 60 | 55 | 25 | 0 | 0
   60 - 70 | 65 | 13 | 1 | 13
   70 - 80 | 75 | 9 | 2 | 18
   80 - 90 | 85 | 4 | 3 | 12
   মোট | | $N = 90$ | | $\sum f_i d_i = -9$

   ১. গাণিতিক গড় ($\bar{x}$):
   $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{N} \times c$
   $= 55 + \frac{-9}{90} \times 10 = 55 - 1 = 54$

   ২. প্রচুরক ($M_o$):
   সারণি হতে দেখা যায়, সর্বাধিক গণসংখ্যা 29 রয়েছে (40 - 50) শ্রেণিতে।
   সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি হলো (40 - 50)।

   প্রচুরক ($M_o$) = $L + \left\{\frac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2}\right\} \times c$
   এখানে,
   $L$ = প্রচুরক শ্রেণির নিম্নসীমা = 40
   $\Delta_1 = 29 - 7 = 22$
   $\Delta_2 = 29 - 25 = 4$
   $c = 10$

   অতএব, $M_o = 40 + \left\{\frac{22}{22 + 4}\right\} \times 10 = 40 + \frac{22}{26} \times 10 \approx 40 + 8.46 = 48.46$

   মন্তব্য:
   এখানে প্রাপ্ত গাণিতিক গড় ($\bar{x} = 54$) এবং প্রচুরক ($M_o = 48.46$)।
   যেহেতু $\bar{x} > M_o$ (গড় > প্রচুরক), তাই কার্ল পিয়ারসনের বঙ্কিমতাঙ্ক $SK_p = \frac{\bar{x} - M_o}{\sigma}$ ধনাত্মক হবে।
   সুতরাং, উদ্দীপকের তথ্যসারির গণসংখ্যা নিবেশনটি ধনাত্মক বঙ্কিম (Positively Skewed) বা ডানদিকে বিস্তৃত আকৃতির।