গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রথম অংশ (দেখানো):
দেওয়া আছে,
$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

তাহলে,
$\lambda I - A = \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -1 & 0 & \lambda \end{bmatrix}$

এখন নির্ণায়ক $|\lambda I - A|$ এর মান বের করি:
$|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -1 & 0 & \lambda \end{vmatrix}$
$= \lambda(\lambda^2 - 0) - (-1)(0 - 1) + 0$
$= \lambda^3 - 1$

অতএব সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$|\lambda I - A| = 0 \Rightarrow \lambda^3 - 1 = 0$

কেইলি-হ্যামিল্টন উপপাদ্য অনুসারে (অথবা সরাসরি নির্ণয় করে):
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

তাহলে, $A^3 - I = 0$, যা সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। (দেখানো হলো)

দ্বিতীয় অংশ ($A^{12}$ এর মান):
যেহেতু $A^3 = I$, সুতরাং
$A^{12} = (A^3)^4 = I^4 = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

উত্তর: $I$ বা $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$