গণিত • BUET • বাংলাদেশ প্রকৌশল বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০২১-২০২২

গণিত প্রশ্ন

10.

যোগজ নির্ণয় কর: ∫(tan⁡θ+cot⁡θ)dθ\int (\sqrt{\tan \theta} + \sqrt{\cot \theta})\text{d}\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি,
I=∫(tan⁡θ+cot⁡θ)dθI = \int (\sqrt{\tan \theta} + \sqrt{\cot \theta}) d\theta

=∫(sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ)dθ= \int \left(\frac{\sqrt{\sin \theta}}{\sqrt{\cos \theta}} + \frac{\sqrt{\cos \theta}}{\sqrt{\sin \theta}}\right) d\theta
=∫sin⁡θ+cos⁡θsin⁡θcos⁡θdθ= \int \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sqrt{\sin \theta \cos \theta}} d\theta
=2∫sin⁡θ+cos⁡θ2sin⁡θcos⁡θdθ= \sqrt{2} \int \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sqrt{2\sin \theta \cos \theta}} d\theta
=2∫sin⁡θ+cos⁡θ1−(1−2sin⁡θcos⁡θ)dθ= \sqrt{2} \int \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sqrt{1 - (1 - 2\sin \theta \cos \theta)}} d\theta
=2∫sin⁡θ+cos⁡θ1−(sin⁡θ−cos⁡θ)2dθ= \sqrt{2} \int \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sqrt{1 - (\sin \theta - \cos \theta)^2}} d\theta

ধরি, z=sin⁡θ−cos⁡θz = \sin \theta - \cos \theta
∴dz=(cos⁡θ+sin⁡θ)dθ\therefore dz = (\cos \theta + \sin \theta) d\theta

মান বসিয়ে পাই,
I=2∫dz1−z2I = \sqrt{2} \int \frac{dz}{\sqrt{1 - z^2}}
=2sin⁡−1(z)+C= \sqrt{2} \sin^{-1}(z) + C
=2sin⁡−1(sin⁡θ−cos⁡θ)+C= \sqrt{2} \sin^{-1}(\sin \theta - \cos \theta) + C

যেখানে CC একটি সমাকলন ধ্রুবক।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন