উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২২
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
P(x)=ax2+bx+c \mathbf{P}(\mathbf{x})=\mathbf{a} \mathbf{x}^{2}+\mathbf{b x}+\mathbf{c}
- ক)(2)
x2−4x+4=0 x^{2}-4 x+4=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর।
- খ)(4)
P(x)=0 \mathrm{P}(\mathrm{x})=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α \alpha ও β \beta হলে ax2−2bx+4c \mathrm{ax}^{2}-2 \mathrm{bx}+4 \mathrm{c} =0 =0 সমীকরণের মলদ্বয় α \alpha ও β \beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
- গ)(4)
P(x)=0 P(x)=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য 2π 2 \pi হলে প্রমাণ কর যে, b2−4ac=4a2π2 b^{2}-4 a c=4 a^{2} \pi^{2} ।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
প্রদত্ত সমীকরণ:
x² - 4x + 4 = 0এখানে,
পৃথায়ক (Discriminant), D = b² - 4ac
= (-4)² - 4 · 1 · 4
= 16 - 16
= 0যেহেতু পৃথায়ক শূন্য, তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, সমান ও মূলদ।
- খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, P(x) = ax² + bx + c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β।
অতএব,
α + β = -b/a
αβ = c/aদ্বিতীয় সমীকরণটি হলো:
ax² - 2bx + 4c = 0
বা, x² - (2b/a)x + 4(c/a) = 0
বা, x² + 2(-b/a)x + 4(c/a) = 0এখানে α ও β এর মান বসিয়ে পাই,
x² + 2(α + β)x + 4αβ = 0
বা, x² + 2αx + 2βx + 4αβ = 0
বা, x(x + 2α) + 2β(x + 2α) = 0
বা, (x + 2α)(x + 2β) = 0সুতরাং,
x = -2α অথবা x = -2βঅতএব, ax² - 2bx + 4c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় -2α ও -2β।
- গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, P(x) = ax² + bx + c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β।
অতএব,
α + β = -b/a
αβ = c/aপ্রশ্নমতে,
|α - β| = 2πউভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
(α - β)² = (2π)²
বা, (α + β)² - 4αβ = 4π²
বা, (-b/a)² - 4(c/a) = 4π²
বা, b²/a² - 4c/a = 4π²
বা, (b² - 4ac)/a² = 4π²
বা, b² - 4ac = 4a²π²
(প্রমাণিত)
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও