∫dxx3(x+5)53=? \int \frac{dx}{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{\left ( x + 5 \right )^{5}}} = ?

Question

Accepted Answer

গ. 310(1+5x)−23+c \frac{3}{10} \left ( 1 + \frac{5}{x} \right )^{- \frac{2}{3}} + c

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমাকলনটি হলো:
$$I = \int \frac{dx}{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{(x+5)^5}} = \int \frac{dx}{x^{1/3} (x+5)^{5/3}}$$

হর থেকে $x^{5/3}$ কমন নিলে পাই:
$$(x+5)^{5/3} = x^{5/3}\left(1 + \frac{5}{x}\right)^{5/3}$$

সুতরাং,
$$x^{1/3} (x+5)^{5/3} = x^{1/3} \cdot x^{5/3}\left(1 + \frac{5}{x}\right)^{5/3} = x^2 \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{5/3}$$

এখন সমাকলনটি দাঁড়ায়:
$$I = \int \frac{dx}{x^2 \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{5/3}}$$

ধরি, $u = 1 + \frac{5}{x}$
অতএব, $du = -\frac{5}{x^2} dx \implies \frac{dx}{x^2} = -\frac{du}{5}$

প্রতিস্থাপন করে পাই:
$$I = \int u^{-5/3} \left(-\frac{du}{5}\right) = -\frac{1}{5} \int u^{-5/3} du$$
$$= -\frac{1}{5} \cdot \frac{u^{-5/3 + 1}}{-5/3 + 1} + c = -\frac{1}{5} \cdot \frac{u^{-2/3}}{-2/3} + c$$
$$= \frac{3}{10} u^{-2/3} + c = \frac{3}{10} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{-2/3} + c$$

অতএব, সঠিক উত্তরটি ৩ নম্বর বিকল্পে রয়েছে।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন