গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$f(x) = \sqrt{x-1}, \quad (x \ge 1)$
$g(x) = x^2 + 2$

(i) $(g \circ f^{-1})(x)$ নির্ণয়:
ধরি, $y = f(x) = \sqrt{x-1}$
$\implies y^2 = x - 1$
$\implies x = y^2 + 1$
$\therefore f^{-1}(x) = x^2 + 1$ (যেখানে $x \ge 0$)

অতএব,
$(g \circ f^{-1})(x) = g(f^{-1}(x)) = g(x^2 + 1)$
$= (x^2 + 1)^2 + 2$
$= x^4 + 2x^2 + 1 + 2$
$= x^4 + 2x^2 + 3$

(ii) $(g \circ f)^{-1}(x)$ নির্ণয়:
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\sqrt{x-1})$
$= (\sqrt{x-1})^2 + 2 = x - 1 + 2 = x + 1$

ধরি, $y = (g \circ f)(x) = x + 1$
$\implies x = y - 1$
$\therefore (g \circ f)^{-1}(x) = x - 1$

উত্তর: $(g \circ f^{-1})(x) = x^4 + 2x^2 + 3$ এবং $(g \circ f)^{-1}(x) = x - 1$।