উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রাশি:
   $\frac{\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}}{\sqrt{1+\sin \theta}}$
   আমরা জানি,
   $1+\sin \theta = \sin^2 \frac{\theta}{2} + \cos^2 \frac{\theta}{2} + 2\sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2} = \left(\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2}\right)^2$
   অতএব,
   $\sqrt{1+\sin \theta} = \sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2}$
   সুতরাং, প্রদত্ত রাশি $= \frac{\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}} = 1$

   উত্তর: 1

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ থেকে পাই, ত্রিভুজ $ABC$-এর বাহুত্রয় $a, b, c$ এবং কোণত্রয় $A, B, C$।
   সাইন সূত্রানুসারে,
   $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
   যেখানে $R$ হলো ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধ।
   তাহলে, $a = 2R\sin A, b = 2R\sin B, c = 2R\sin C$।

   বামপক্ষ $= a \sin\left(\frac{A}{2}+B\right)$
   $= 2R \sin A \sin\left(\frac{A}{2}+B\right)$
   $= 2R \cdot 2\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \sin\left(\frac{A}{2}+B\right)$
   $= 2R \sin \frac{A}{2} \left[2 \sin\left(\frac{A}{2}+B\right) \cos \frac{A}{2}\right]$
   $= 2R \sin \frac{A}{2} \left[\sin\left(\frac{A}{2}+B+\frac{A}{2}\right) + \sin\left(\frac{A}{2}+B-\frac{A}{2}\right)\right]$
   $= 2R \sin \frac{A}{2} [\sin(A+B) + \sin B]$

   যেহেতু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $A+B+C = \pi$, সেহেতু $A+B = \pi - C$।
   অতএব, $\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C$।

   $= 2R \sin \frac{A}{2} [\sin C + \sin B]$
   $= (2R \sin B + 2R \sin C) \sin \frac{A}{2}$
   $= (b + c) \sin \frac{A}{2} = \text{ডানপক্ষ}$

   অতএব, $a \sin\left(\frac{A}{2}+B\right) = (b+c) \sin \frac{A}{2}$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,
   $\sec \theta = \frac{m - n\cos\phi}{m\cos\phi - n}$
   $\implies \cos \theta = \frac{m\cos\phi - n}{m - n\cos\phi}$

   বিয়োজন-যোজন করে পাই,
   $\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{(m - n\cos\phi) - (m\cos\phi - n)}{(m - n\cos\phi) + (m\cos\phi - n)}$
   $\implies \frac{2\sin^2\frac{\theta}{2}}{2\cos^2\frac{\theta}{2}} = \frac{(m+n) - (m+n)\cos\phi}{(m-n) + (m-n)\cos\phi}$
   $\implies \tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{(m+n)(1-\cos\phi)}{(m-n)(1+\cos\phi)}$
   $\implies \tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{m+n}{m-n} \cdot \frac{2\sin^2\frac{\phi}{2}}{2\cos^2\frac{\phi}{2}}$
   $\implies \tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{m+n}{m-n} \tan^2\frac{\phi}{2}$

   দেওয়া আছে, $m = \frac{P+Q}{2}$ এবং $n = \frac{P-Q}{2}$
   তাহলে,
   $m+n = \frac{P+Q}{2} + \frac{P-Q}{2} = P$
   $m-n = \frac{P+Q}{2} - \frac{P-Q}{2} = Q$

   মান বসিয়ে পাই,
   $\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{P}{Q} \tan^2\frac{\phi}{2}$
   $\implies \frac{\tan^2\frac{\theta}{2}}{P} = \frac{\tan^2\frac{\phi}{2}}{Q}$

   উভয়পক্ষে বর্গমূল করে পাই,
   $\frac{\tan\frac{\theta}{2}}{\sqrt{P}} = \frac{\tan\frac{\phi}{2}}{\sqrt{Q}}$
   (প্রমাণিত)।