পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্রের প্রতিটি বিন্দুর সাথে একটি নির্দিষ্ট বাস্তব সংখ্যা সম্পর্কিত করে যে বাস্তব মানবিশিষ্ট ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাকে দৈব চলক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৈব চলক X-এর ভেদাঙ্ক হলো তার গাণিতিক প্রত্যাশা বা গড় থেকে বিচ্যুতির বর্গের প্রত্যাশিত মান। অর্থাৎ,
   Var(X) = E[(X - E(X))²]

   যেহেতু বাস্তব সংখ্যার যেকোনো রাশির বর্গ [X - E(X)]² সর্বদা অঋণাত্মক (≥ 0), তাই এর প্রত্যাশিত মানও কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। কোনো চলক ধ্রুবক না হলে বিচ্যুতি বিদ্যমান থাকে, ফলে ভেদাঙ্কের মান সর্বদা ধনাত্মক হয় [Var(X) > 0]।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, বিচ্ছিন্ন দৈবচলক x-এর সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   P(x) = (x + 1)/k; x = 1, 2, 3, 4

   সম্ভাবনা অপেক্ষকের শর্তানুযায়ী, সকল সম্ভাব্য মানের সম্ভাবনার সমষ্টি ১ হতে হবে। অর্থাৎ,
   ∑ P(x) = 1
   ⇒ P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1
   ⇒ (1 + 1)/k + (2 + 1)/k + (3 + 1)/k + (4 + 1)/k = 1
   ⇒ 2/k + 3/k + 4/k + 5/k = 1
   ⇒ (2 + 3 + 4 + 5) / k = 1
   ⇒ 14 / k = 1
   ⇒ k = 14

   অতএব, k এর মান 14।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   k = 14 ধরে প্রদত্ত অপেক্ষকটি দাঁড়ায়:
   P(x) = (x + 1) / 14; যেখানে x = 1, 2, 3, 4

   একটি ফাংশন P(x) সম্ভাবনা অপেক্ষক (Probability Mass Function) হতে হলে দুটি মৌলিক শর্ত পূরণ করতে হয়:
   ১. x-এর সকল মানের জন্য 0 ≤ P(x) ≤ 1 হতে হবে।
   ২. সকল সম্ভাব্য মানের সম্ভাবনার সমষ্টি ১ হতে হবে, অর্থাৎ ∑ P(x) = 1 হতে হবে।

   x-এর বিভিন্ন মানের জন্য সম্ভাব্যতা পরীক্ষা:
   P(x=1) = (1 + 1)/14 = 2/14 = 1/7 (যা 0 ও 1-এর মধ্যে অবস্থিত)
   P(x=2) = (2 + 1)/14 = 3/14 (যা 0 ও 1-এর মধ্যে অবস্থিত)
   P(x=3) = (3 + 1)/14 = 4/14 = 2/7 (যা 0 ও 1-এর মধ্যে অবস্থিত)
   P(x=4) = (4 + 1)/14 = 5/14 (যা 0 ও 1-এর মধ্যে অবস্থিত)

   এখানে x-এর প্রতিটি মানের জন্যই 0 ≤ P(x) ≤ 1 শর্তটি পালিত হয়েছে।

   আবার, সমষ্টি নির্ণয়:
   ∑ P(x) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 2/14 + 3/14 + 4/14 + 5/14 = 14/14 = 1

   যেহেতু P(x) সম্ভাবনা অপেক্ষক হওয়ার উভয় শর্তই সম্পূর্ণরূপে পূরণ করে, সেহেতু k = 14 এর জন্য P(x) একটি যথার্থ সম্ভাবনা অপেক্ষক।