পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দ্বিপদী পরীক্ষার সফলতার সংখ্যা নির্দেশকারী বিচ্ছিন্ন দৈব চলককে দ্বিপদী চলক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি দুটি: চেষ্টার সংখ্যা $n$ এবং প্রতি চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা $p$।
   দ্বিপদী বিন্যাসের গড় $= np$ এবং ভেদাঙ্ক $= npq = np(1-p)$,
   যেখানে $q = 1-p$ হলো বিফলতার সম্ভাবনা এবং $0 < p < 1$, ফলে $0 < q < 1$।
   যেহেতু $q < 1$, তাই $npq < np$।
   অর্থাৎ, দ্বিপদী বিন্যাসের ভেদাঙ্ক সর্বদা এর গড়ের চেয়ে ছোট হয় (ভেদাঙ্ক < গড়)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   এখানে, লোকের সংখ্যা, $n = 5$
   পরবর্তী ৩০ বছর বেঁচে থাকার সম্ভাবনা (সফলতা), $p = \frac{2}{3}$
   অতএব, বিফলতার সম্ভাবনা, $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

   ধরি, $X$ হলো পরবর্তী ৩০ বছর বেঁচে থাকা লোকের সংখ্যা। তাহলে $X \sim \text{Binomial}\left(n=5, p=\frac{2}{3}\right)$,
   যার সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   $P(X = x) = {}^5C_x \left(\frac{2}{3}\right)^x \left(\frac{1}{3}\right)^{5-x}; \quad x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$

   কমপক্ষে ৩ জন বেঁচে থাকার সম্ভাবনা:
   $P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$

   এখন,
   $P(X = 3) = {}^5C_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 10 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{9} = \frac{80}{243}$
   $P(X = 4) = {}^5C_4 \left(\frac{2}{3}\right)^4 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 5 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{80}{243}$
   $P(X = 5) = {}^5C_5 \left(\frac{2}{3}\right)^5 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{32}{243} \times 1 = \frac{32}{243}$

   অতএব,
   $P(X \ge 3) = \frac{80 + 80 + 32}{243} = \frac{192}{243} = \frac{64}{81} \approx 0.7901$

   সুতরাং, পরবর্তী ৩০ বছর পর্যন্ত কমপক্ষে ৩ জন বেঁচে থাকার সম্ভাবনা প্রায় $0.7901$ বা $79.01\%$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, পরবর্তী ৩০ বছর পর্যন্ত ৫ জনই বেঁচে থাকার ঘটনা হলো $X = 5$।

   ৫ জনই বেঁচে থাকার তাত্ত্বিক সম্ভাবনা:
   $P(X = 5) = {}^5C_5 \left(\frac{2}{3}\right)^5 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{32}{243} \times 1 = \frac{32}{243}$
   শতকরা হিসেবে প্রকাশ করলে:
   $P(X = 5) = \left(\frac{32}{243} \times 100\right)\% \approx 13.17\%$

   বিক্রয় প্রতিনিধি দাবি করেছিলেন যে, ৫ জনই বেঁচে থাকার সম্ভাবনা $13\%$।
   যেহেতু তাত্ত্বিকভাবে নির্ণীত সম্ভাবনা $13.17\%$, যা পূর্ণসংখ্যায় প্রায় $13\%$ এর সমান। সুতরাং, আসন্ন মান হিসেবে বিক্রয় প্রতিনিধির উক্তিটি যথার্থ।