পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফলের সেটকে নমুনাক্ষেত্র (Sample Space) বলে। একে সাধারণত S দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, কোনো পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র S এবং একটি নির্দিষ্ট ঘটনা A। ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা P(A) এবং না ঘটার সম্ভাবনা P(A')।

   ঘটনা A এবং এর পূরক ঘটনা A' পরস্পর বর্জনশীল ও সমগ্র ঘটনা। ফলে তাদের সংযোগ সেট সমগ্র নমুনাক্ষেত্র তৈরি করে, অর্থাৎ A ∪ A' = S এবং A ∩ A' = ∅।

   সম্ভাবনার স্বতঃসিদ্ধ অনুযায়ী,
   P(A ∪ A') = P(A) + P(A')
   বা, P(S) = P(A) + P(A')
   যেহেতু সমগ্র নমুনাক্ষেত্রের সম্ভাবনা P(S) = 1, সুতরাং P(A) + P(A') = 1।
   অতএব, কোনো ঘটনা ঘটা এবং না ঘটার সম্ভাবনার যোগফল সর্বদা ১।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পাত্রে মোট বলের সংখ্যা = ৪টি লাল + ৬টি কালো = ১০টি বল।

   ১০টি বল থেকে দৈবভাবে ২টি বল তোলার মোট সম্ভাব্য উপায়:
   n(S) = ¹⁰C₂ = (10 × 9) / (2 × 1) = 45

   উভয় বল কালো হওয়ার অনুকূল উপায়:
   ৬টি কালো বল থেকে ২টি কালো বল তোলার উপায়, n(কালো) = ⁶C₂ = (6 × 5) / (2 × 1) = 15

   অতএব, বল দুইটি কালো হবার সম্ভাবনা:
   P(বল দুইটি কালো) = n(কালো) / n(S) = 15 / 45 = 1/3 ≈ 0.333

   উত্তর: 1/3 (বা 0.333)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মোট বল = ৪ + ৬ = ১০টি। মোট সম্ভাব্য উপায় n(S) = ¹⁰C₂ = ৪৫।

   ১. বল দুইটি একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা:
   বল দুইটি একই রঙের হওয়ার অর্থ হলো উভয় বল লাল অথবা উভয় বল কালো হবে।
   অনুকূল উপায় = ⁴C₂ + ⁶C₂ = 6 + 15 = 21
   সুতরাং, বল দুইটি একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা:
   P(একই রঙের) = 21 / 45 = 7 / 15 ≈ 0.467

   ২. বল দুইটি ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা:
   বল দুইটি ভিন্ন রঙের হওয়ার অর্থ হলো একটি লাল এবং একটি কালো বল হবে।
   অনুকূল উপায় = ⁴C₁ × ⁶C₁ = 4 × 6 = 24
   সুতরাং, বল দুইটি ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা:
   P(ভিন্ন রঙের) = 24 / 45 = 8 / 15 ≈ 0.533

   তুলনা করে দেখা যায়,
   P(একই রঙের) = 7/15 < P(ভিন্ন রঙের) = 8/15।

   অতএব, বল দুইটি একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা অপেক্ষা কম। সিয়ামের বক্তব্যটি সম্পূর্ণ সঠিক এবং যথার্থ।