গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত ফাংশন: $f(x) = x + 2\sin x$, যেখানে $x \in [0, 2\pi]$

\textbf{গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয়:}
$f'(x) = 1 + 2\cos x$
চরম মানের জন্য $f'(x) = 0$
$\implies 1 + 2\cos x = 0$
$\implies \cos x = -\frac{1}{2}$
$\therefore x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ [যেহেতু $x \in [0, 2\pi]$]

আবার, $f''(x) = -2\sin x$

১. $x = \frac{2\pi}{3}$ বিন্দুতে:
$f''\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -2\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} < 0$
সুতরাং, $x = \frac{2\pi}{3}$ বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান রয়েছে।
$\therefore$ গুরুমান $= f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} + 2\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$

২. $x = \frac{4\pi}{3}$ বিন্দুতে:
$f''\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -2\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \sqrt{3} > 0$
সুতরাং, $x = \frac{4\pi}{3}$ বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান রয়েছে।
$\therefore$ লঘুমান $= f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} + 2\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$

\textbf{Point of Inflection (অনমনীয় বিন্দু) নির্ণয়:}
Point of Inflection এর জন্য $f''(x) = 0$
$\implies -2\sin x = 0$
$\implies \sin x = 0$
ব্যবধি $(0, 2\pi)$ এর অভ্যন্তরে $x = \pi$
$x = \pi$ এর বামে $f''(x) < 0$ এবং ডানে $f''(x) > 0$, অর্থাৎ বক্রতা পরিবর্তিত হয়।
$x = \pi$ হলে, $y = f(\pi) = \pi + 2\sin\pi = \pi$
$\therefore$ Point of Inflection হলো $(\pi, \pi)$।