গণিত • MIST • মিলিটারি ইনস্টিটিউট অব সায়েন্স অ্যান্ড টেকনোলজি ভর্তি পরীক্ষা ২০১৮-২০১৯

গণিত প্রশ্ন

6.

ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha,\beta এবং bx2+cx+a=0bx^2 + cx + a = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় γ,δ\gamma, \delta হলে, কোন শর্তে αβ=γδ\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} হবে, বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta
∴α+β=−ba\therefore \alpha + \beta = -\frac{b}{a} এবং αβ=ca\alpha\beta = \frac{c}{a}

আবার,
bx2+cx+a=0bx^2 + cx + a = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় γ,δ\gamma, \delta
∴γ+δ=−cb\therefore \gamma + \delta = -\frac{c}{b} এবং γδ=ab\gamma\delta = \frac{a}{b}

প্রদত্ত শর্তানুসারে,
αβ=γδ\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}

উভয়পক্ষে ১ যোগ করে পাই,
αβ+1=γδ+1  ⟹  α+ββ=γ+δδ— (i)\frac{\alpha}{\beta} + 1 = \frac{\gamma}{\delta} + 1 \implies \frac{\alpha + \beta}{\beta} = \frac{\gamma + \delta}{\delta} \quad \text{--- (i)}

আবার, উভয়পক্ষ থেকে ১ বিয়োগ করে পাই,
αβ−1=γδ−1  ⟹  α−ββ=γ−δδ— (ii)\frac{\alpha}{\beta} - 1 = \frac{\gamma}{\delta} - 1 \implies \frac{\alpha - \beta}{\beta} = \frac{\gamma - \delta}{\delta} \quad \text{--- (ii)}

(i) নং সমীকরণকে (ii) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,
α+βα−β=γ+δγ−δ\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta} = \frac{\gamma + \delta}{\gamma - \delta}

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
(α+β)2(α−β)2=(γ+δ)2(γ−δ)2\frac{(\alpha + \beta)^2}{(\alpha - \beta)^2} = \frac{(\gamma + \delta)^2}{(\gamma - \delta)^2}
  ⟹  (α+β)2(α+β)2−4αβ=(γ+δ)2(γ+δ)2−4γδ\implies \frac{(\alpha + \beta)^2}{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \frac{(\gamma + \delta)^2}{(\gamma + \delta)^2 - 4\gamma\delta}

বিপরীতকরণ করে পাই,
(α+β)2−4αβ(α+β)2=(γ+δ)2−4γδ(γ+δ)2\frac{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2} = \frac{(\gamma + \delta)^2 - 4\gamma\delta}{(\gamma + \delta)^2}
  ⟹  1−4αβ(α+β)2=1−4γδ(γ+δ)2\implies 1 - \frac{4\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2} = 1 - \frac{4\gamma\delta}{(\gamma + \delta)^2}
  ⟹  αβ(α+β)2=γδ(γ+δ)2\implies \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2} = \frac{\gamma\delta}{(\gamma + \delta)^2}

এখন মান বসিয়ে পাই,
ca(−ba)2=ab(−cb)2\frac{\frac{c}{a}}{\left(-\frac{b}{a}\right)^2} = \frac{\frac{a}{b}}{\left(-\frac{c}{b}\right)^2}
  ⟹  cab2a2=abc2b2\implies \frac{\frac{c}{a}}{\frac{b^2}{a^2}} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c^2}{b^2}}
  ⟹  acb2=abc2\implies \frac{ac}{b^2} = \frac{ab}{c^2}

উভয়পক্ষকে aa দ্বারা ভাগ করে পাই (a≠0a \neq 0):
cb2=bc2\frac{c}{b^2} = \frac{b}{c^2}
  ⟹  b3=c3\implies b^3 = c^3
  ⟹  b3−c3=0বা,b=c\implies b^3 - c^3 = 0 \quad \text{বা,} \quad b = c

অতএব, নির্ণেয় শর্ত হলো b3=c3b^3 = c^3 (বা বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে b=cb = c)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন