গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $AB$ রডের দুই প্রান্ত $A$ ও $B$, যেখানে $AB = 10\text{ m}$। রডের মধ্যবিন্দু $M$।
বস্তুটি $C$ বিন্দুতে অবস্থিত, যা $M$ এর ঠিক খাড়া নিচে। সুতা দুটির দৈর্ঘ্য $AC = 6\text{ m}$ এবং $BC = 8\text{ m}$।
যেহেতু $AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 100 = AB^2$, সুতরাং $\triangle ABC$ সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle C = 90^\circ$।

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দু $M$ পরিবৃত্তের কেন্দ্র হওয়ায়, $MA = MB = MC = 5\text{ m}$।
ফলে $\triangle MAC$ ও $\triangle MBC$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
অতএব, উলম্ব রেখা $MC$-এর সাথে $AC$ সুতার কোণ $\angle MCA = \angle A$ এবং $BC$ সুতার কোণ $\angle MCB = \angle B$।
এখানে, $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$, $\sin A = \frac{4}{5}$
এবং $\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$, $\sin B = \frac{3}{5}$।

ধরি, $AC$ ও $BC$ সুতায় টান যথাক্রমে $T_1$ ও $T_2$ এবং বস্তুর ওজন $W = 60g\text{ N}$।
$C$ বিন্দুতে বলগুলোর সাম্যাবস্থার শর্তানুসারে:
অনুভূমিক বরাবর:
$T_1 \sin A = T_2 \sin B$
$T_1 \cdot \frac{4}{5} = T_2 \cdot \frac{3}{5} \implies T_2 = \frac{4}{3} T_1$

উলম্ব বরাবর:
$T_1 \cos A + T_2 \cos B = W$
$T_1 \cdot \frac{3}{5} + \left(\frac{4}{3} T_1\right) \cdot \frac{4}{5} = 60g$
$T_1 \left(\frac{3}{5} + \frac{16}{15}\right) = 60g$
$T_1 \left(\frac{25}{15}\right) = 60g \implies T_1 \cdot \frac{5}{3} = 60g$
$T_1 = 36g = 36 \times 9.8 = 352.8\text{ N} \text{ (বা } 36\text{ kg-wt)}$

অতএব,
$T_2 = \frac{4}{3} \times 36g = 48g = 48 \times 9.8 = 470.4\text{ N} \text{ (বা } 48\text{ kg-wt)}$

উত্তর: সুতাদ্বয়ের টান যথাক্রমে $352.8\text{ N}$ এবং $470.4\text{ N}$ (বা $36\text{ kg-wt}$ এবং $48\text{ kg-wt}$)।