গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত দ্বিপদী রাশিটি হলো $\left(2x^2 + \frac{3}{x}\right)^{19}$।

এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ:
$T_{k+1} = {}^{19}C_k (2x^2)^{19-k} \left(\frac{3}{x}\right)^k = {}^{19}C_k \cdot 2^{19-k} \cdot 3^k \cdot x^{38-3k}$

অতএব, $(r+1)$ তম পদের সহগ:
$C_1 = {}^{19}C_r \cdot 2^{19-r} \cdot 3^r$

এবং $(r+2)$ তম পদের সহগ:
$C_2 = {}^{19}C_{r+1} \cdot 2^{19-(r+1)} \cdot 3^{r+1} = {}^{19}C_{r+1} \cdot 2^{18-r} \cdot 3^{r+1}$

শর্তানুসারে, $C_1 = C_2$
${}^{19}C_r \cdot 2^{19-r} \cdot 3^r = {}^{19}C_{r+1} \cdot 2^{18-r} \cdot 3^{r+1}$
$\implies \frac{{}^{19}C_r}{{}^{19}C_{r+1}} \cdot \frac{2^{19-r}}{2^{18-r}} = \frac{3^{r+1}}{3^r}$
$\implies \frac{\frac{19!}{r!(19-r)!}}{\frac{19!}{(r+1)!(18-r)!}} \cdot 2 = 3$
$\implies \frac{r+1}{19-r} \cdot 2 = 3$
$\implies 2r + 2 = 57 - 3r$
$\implies 5r = 55$
$\implies r = 11$

উত্তর: $r = 11$